Страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

330 На доске написано более 30, но менее 40 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -10.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

а) Сколько чисел написано на доске?

Обозначим общее количество чисел на доске как $N$. По условию, $30 < N < 40$. Пусть $p$ — количество положительных чисел, $n$ — количество отрицательных чисел, а $z$ — количество нулей. Тогда $N = p + n + z$.

Сумма всех чисел $S$ связана с их средним арифметическим $(-3)$ формулой: $S = -3N$. Аналогично, сумма всех положительных чисел $S_p$ равна $S_p = 5p$, а сумма всех отрицательных чисел $S_n$ равна $S_n = -10n$.

Общая сумма чисел складывается из суммы положительных, отрицательных чисел и нулей: $S = S_p + S_n + 0$. Подставив выражения для сумм, получим уравнение: $-3N = 5p - 10n$

Вынесем 5 за скобки в правой части уравнения: $-3N = 5(p - 2n)$

Из этого уравнения следует, что $-3N$ должно быть кратно 5. Поскольку числа 3 и 5 взаимно простые, само число $N$ должно быть кратно 5. В промежутке от 30 до 40 есть только одно целое число, кратное 5, — это 35. Следовательно, на доске написано 35 чисел.

Ответ: 35.

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

Для ответа на этот вопрос нам нужно сравнить $p$ и $n$. Воспользуемся уравнениями, полученными при решении пункта а).

Мы знаем, что $N = 35$, и имеем два основных соотношения:
1) $N = p + n + z \implies 35 = p + n + z$
2) $-3N = 5p - 10n \implies -3(p+n+z) = 5p - 10n$

Раскроем скобки во втором уравнении и преобразуем его:
$-3p - 3n - 3z = 5p - 10n$
Перенесем члены с $p$ в одну сторону, а с $n$ в другую:
$10n - 3n = 5p + 3p + 3z$
$7n = 8p + 3z$

Представим $8p$ как $7p + p$:
$7n = 7p + p + 3z$
Перенесем $7p$ в левую часть:
$7n - 7p = p + 3z$
$7(n - p) = p + 3z$

По условию, на доске есть положительные числа (их среднее равно 5), значит $p \ge 1$. Количество нулей $z$ является неотрицательным целым числом ($z \ge 0$). Следовательно, правая часть уравнения $p + 3z$ всегда положительна: $p + 3z \ge 1 + 3 \cdot 0 = 1$.
Раз $p + 3z > 0$, то и левая часть $7(n - p)$ также должна быть положительна. Это означает, что разность $(n - p)$ положительна, то есть $n > p$.

Ответ: отрицательных.

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

Нам нужно найти максимальное возможное значение $p$. Воспользуемся уравнением, связывающим $p$ и $z$, которое мы вывели в пункте б): $49 = 3p + 2z$. Это уравнение мы получили из системы:
$7n = 8p + 3z$
$n = 35 - p - z$
$7(35 - p - z) = 8p + 3z$
$245 - 7p - 7z = 8p + 3z$
$245 = 15p + 10z$
Разделив обе части на 5, получаем: $49 = 3p + 2z$.

Выразим $3p$ из этого уравнения:
$3p = 49 - 2z$

Чтобы значение $p$ было максимальным, значение $z$ должно быть минимально возможным. Так как $z$ — это количество нулей, его минимальное значение равно 0 ($z \ge 0$). Кроме того, $p$ должно быть целым числом, поэтому выражение $49 - 2z$ должно быть кратно 3.

Проверим минимальные возможные значения $z$:

• Если $z=0$, то $3p = 49 - 2(0) = 49$. 49 не делится на 3.
• Если $z=1$, то $3p = 49 - 2(1) = 47$. 47 не делится на 3.
• Если $z=2$, то $3p = 49 - 2(2) = 45$. 45 делится на 3.

При $z=2$ получаем $3p = 45$, откуда $p = 15$.

При увеличении $z$ значение $49 - 2z$ будет уменьшаться, а следовательно, будет уменьшаться и $p$. Таким образом, максимальное значение $p$ достигается при наименьшем подходящем $z$, то есть при $z=2$. Проверим, что такая ситуация возможна. Если $p=15$ и $z=2$, то количество отрицательных чисел $n = 35 - p - z = 35 - 15 - 2 = 18$. Все условия задачи выполняются: $N=35$, $p=15$, $n=18$, $z=2$.

Ответ: 15.

331 Решите уравнение

$\frac{3}{7x+2} = \frac{3}{3-2x}$

Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите наибольший из корней.

Дано уравнение: $ \frac{3}{7x + 2} = \frac{3}{3 - 2x} $.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
1) $ 7x + 2 \neq 0 \implies 7x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{7} $
2) $ 3 - 2x \neq 0 \implies 3 \neq 2x \implies x \neq \frac{3}{2} $

Поскольку числители дробей в обеих частях уравнения равны (число 3) и отличны от нуля, то равенство дробей достигается только в том случае, если равны их знаменатели.

$ 7x + 2 = 3 - 2x $

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую часть уравнения.

$ 7x + 2x = 3 - 2 $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях.

$ 9x = 1 $

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы найти $x$.

$ x = \frac{1}{9} $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Значение $ x = \frac{1}{9} $ не равно $-\frac{2}{7}$ и не равно $\frac{3}{2}$, следовательно, корень является действительным решением уравнения.

Уравнение имеет единственный корень. Условие про наибольший из корней применяется, когда их больше одного. В данном случае в ответ записываем единственный найденный корень.

Ответ: $ \frac{1}{9} $

332 Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 25}}{x - 5};$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{6 - x}.$

a) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 25}}{x - 5}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 25 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 5 \ne 0$.

Рассмотрим оба условия по отдельности.

1. Решим неравенство $x^2 - 25 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 5)(x + 5) \ge 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.
Это парабола $y = x^2 - 25$ с ветвями, направленными вверх. Она принимает неотрицательные значения, когда $x$ находится за пределами корней или в самих корнях.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

2. Решим условие $x - 5 \ne 0$.
$x \ne 5$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих условий. Мы должны взять множество $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$ и исключить из него точку $x = 5$.
Исключая точку $x = 5$ из промежутка $[5, \infty)$, мы получаем открытый справа промежуток $(5, \infty)$. Промежуток $(-\infty, -5]$ не содержит точку $5$ и остается без изменений.
Следовательно, область определения функции: $x \in (-\infty, -5] \cup (5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (5, \infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{6 - x}$

Аналогично предыдущему пункту, область определения этой функции определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 36 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $6 - x \ne 0$.

Рассмотрим оба условия.

1. Решим неравенство $x^2 - 36 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - 6)(x + 6) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 6) = 0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
График функции $y = x^2 - 36$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения на интервалах $(-\infty, -6]$ и $[6, \infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

2. Решим условие $6 - x \ne 0$.
$x \ne 6$.

Объединим результаты. Необходимо из множества решений первого неравенства $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$ исключить точку $x = 6$, которая не удовлетворяет второму условию.
Исключая точку $x = 6$ из промежутка $[6, \infty)$, мы получаем открытый промежуток $(6, \infty)$. Промежуток $(-\infty, -6]$ не изменяется.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -6] \cup (6, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup (6, \infty)$.

333 Укажите множество значений функции $y = 2^x + 5$.

Для нахождения множества значений функции $y = 2^x + 5$ необходимо проанализировать ее свойства.

1. В основе данной функции лежит показательная функция $f(x) = 2^x$. Известно, что область значений показательной функции $a^x$ при $a > 0$ и $a \neq 1$ — это все положительные числа. В нашем случае основание $a=2$, что больше 1. Следовательно, для любого действительного числа $x$ значение выражения $2^x$ всегда будет строго больше нуля.

Это можно записать в виде неравенства:

$2^x > 0$

2. Исходная функция $y = 2^x + 5$ получена из функции $f(x) = 2^x$ путем прибавления константы 5. Геометрически это означает, что график функции $y = 2^x + 5$ получается из графика функции $y = 2^x$ сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат (оси OY).

3. Чтобы найти множество значений функции $y$, нужно применить это преобразование к неравенству, описывающему область значений функции $f(x) = 2^x$. Прибавим 5 к обеим частям неравенства $2^x > 0$:

$2^x + 5 > 0 + 5$

Так как $y = 2^x + 5$, получаем:

$y > 5$

Таким образом, множество всех значений, которые может принимать функция $y$, — это все числа, строго большие 5. В виде числового промежутка это записывается как $(5; +\infty)$.

Ответ: $(5; +\infty)$.

334 Найдите наименьшее значение функции:

a) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4}$;

б) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 2} + 1.

а)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4}$.

Заметим, что выражение под корнем представляет собой полный квадрат. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, мы можем преобразовать подкоренное выражение:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде:

$y = \sqrt{(x-2)^2}$.

Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:

$y = |x-2|$.

Функция модуля $|x-2|$ по определению принимает только неотрицательные значения. Ее наименьшее значение равно 0. Это значение достигается в том случае, когда выражение под знаком модуля равно нулю:

$x-2 = 0 \implies x=2$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно 0.

Ответ: 0.

б)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 2x + 2 + 1}$.

Сначала упростим выражение под знаком корня:

$x^2 - 2x + 2 + 1 = x^2 - 2x + 3$.

Теперь функция имеет вид: $y = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$.

Функция $f(z) = \sqrt{z}$ является возрастающей для всех $z \ge 0$. Поэтому наименьшее значение функции $y$ будет достигаться тогда, когда подкоренное выражение $g(x) = x^2 - 2x + 3$ принимает свое наименьшее значение.

Рассмотрим квадратичную функцию $g(x) = x^2 - 2x + 3$. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля), значит, она имеет точку минимума.

Для нахождения наименьшего значения $g(x)$ выделим полный квадрат:

$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$.

Выражение $(x-1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x-1)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, оно принимает при $x=1$.

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $g(x)$ равно $0 + 2 = 2$.

Теперь мы можем найти наименьшее значение исходной функции $y$:

$y_{min} = \sqrt{g_{min}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

335 ЕГЭ Найдите наименьшее значение функции

$y = \sqrt{x^2 - 12x + 37} - 3.$

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 12x + 37} - 3$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $g(x) = x^2 - 12x + 37$, поскольку функция $f(z) = \sqrt{z}$ является монотонно возрастающей для $z \ge 0$. Чем меньше значение подкоренного выражения, тем меньше значение самого корня и, следовательно, всей функции $y$.

Подкоренное выражение $g(x) = x^2 - 12x + 37$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Своё наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Существует два основных способа найти наименьшее значение этой квадратичной функции.

Способ 1: Нахождение вершины параболы
Абсцисса вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $a=1$, $b=-12$, $c=37$.
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Теперь подставим найденное значение $x_0 = 6$ в функцию $g(x)$, чтобы найти её наименьшее значение: $g_{min} = g(6) = 6^2 - 12 \cdot 6 + 37 = 36 - 72 + 37 = 1$.

Способ 2: Выделение полного квадрата
Преобразуем выражение $x^2 - 12x + 37$:
$x^2 - 12x + 37 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 36) - 36 + 37 = (x - 6)^2 + 1$.
Выражение $(x-6)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-6)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=6$.
Следовательно, наименьшее значение для $g(x)$ равно $0 + 1 = 1$.

Оба способа показали, что наименьшее значение подкоренного выражения равно 1. Оно положительно, поэтому функция $y$ определена.

Теперь мы можем вычислить наименьшее значение исходной функции $y$, подставив в нее найденное минимальное значение подкоренного выражения: $y_{min} = \sqrt{1} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: $-2$

336 Найдите наибольшее значение функции:

a) $y = -\sqrt{x^2 + 6x + 9}$;

б) $y = 5 - \sqrt{x^2 - 2x + 2}$.

а) Чтобы найти наибольшее значение функции $y = -\sqrt{x^2 + 6x + 9}$, нужно найти наименьшее возможное значение выражения $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$, так как перед корнем стоит знак минус.

Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому его наименьшее значение равно 0. Чтобы это проверить, рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 6x + 9$.

Это выражение является полным квадратом: $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Тогда функцию можно переписать в виде: $y = -\sqrt{(x+3)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = -|x+3|$.

Выражение $|x+3|$ всегда больше или равно нулю. Его наименьшее значение равно 0 (при $x = -3$).

Следовательно, наибольшее значение функции $y$ достигается, когда $|x+3|$ минимально, то есть равно 0.

$y_{наиб} = -0 = 0$.

Ответ: 0.

б) Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 5 - \sqrt{x^2 - 2x + 2}$, нужно из 5 вычесть наименьшее возможное значение. Это означает, что нам нужно найти наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 - 2x + 2}$.

Чтобы минимизировать значение корня, нужно минимизировать подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 2x + 2$.

Подкоренное выражение является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине. Найдем его, выделив полный квадрат:

$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$.

Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x = 1$).

Значит, наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ равно $0 + 1 = 1$.

Тогда наименьшее значение корня равно $\sqrt{1} = 1$.

Теперь можем найти наибольшее значение исходной функции:

$y_{наиб} = 5 - 1 = 4$.

Ответ: 4.

337 Решите уравнение $7 \cdot 5^{\log_5 x} = x + 21$.

Для решения уравнения $7 \cdot 5^{\log_5 x} = x + 21$ необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

2. Упростить левую часть уравнения. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Применительно к нашему уравнению, где $a=5$ и $b=x$, получаем:

$5^{\log_5 x} = x$

3. Подставить упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:

$7 \cdot x = x + 21$

4. Решить полученное линейное уравнение:

$7x - x = 21$

$6x = 21$

$x = \frac{21}{6}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{7}{2} = 3.5$

5. Проверить, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Условие $x > 0$ выполняется, так как $3.5 > 0$. Следовательно, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $3.5$.

338 ЕГЭ Найдите $26\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$, если $\cos\alpha = \frac{12}{13}$ и $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Для начала упростим выражение $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$, используя формулы приведения.

Так как косинус является четной функцией, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, мы можем записать:$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $

Согласно формуле приведения, $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$.Таким образом, исходное выражение $26\cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$ можно переписать как $26\sin \alpha$.

Теперь нам нужно найти значение $\sin \alpha$, зная, что $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ и угол $\alpha$ принадлежит интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, то есть находится в первой четверти. В первой четверти значения синуса и косинуса положительны.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.Выразим из него $\sin^2 \alpha$:$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $

Подставим известное значение $\cos \alpha$:$ \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Отсюда $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти $(0; \frac{\pi}{2})$, его синус положителен. Следовательно, $\sin \alpha = \frac{5}{13}$.

Теперь мы можем вычислить искомое значение:$ 26\sin \alpha = 26 \cdot \frac{5}{13} = \frac{26 \cdot 5}{13} = 2 \cdot 5 = 10 $

Ответ: 10

339 ЕГЭ Решите уравнение $2\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) - 1 = 0$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$2\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) - 1 = 0$

Для начала выразим функцию косинуса. Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) = 1$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) = \frac{1}{2}$

Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Решение уравнения вида $\cos(t) = a$ находится по общей формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае аргумент $t = \frac{\pi}{4}x$, а значение $a = \frac{1}{2}$. Применим формулу:

$\frac{\pi}{4}x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Значение арккосинуса от $\frac{1}{2}$ равно $\frac{\pi}{3}$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{\pi}{4}x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{4}{\pi}$:

$x = \left(\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) \cdot \frac{4}{\pi}$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $\frac{4}{\pi}$:

$x = \pm\frac{\pi}{3} \cdot \frac{4}{\pi} + 2\pi k \cdot \frac{4}{\pi}$

Сократим $\pi$ в каждом члене:

$x = \pm\frac{4}{3} + 8k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{4}{3} + 8k, k \in \mathbb{Z}$.

340 ЕГЭ

а) Решите уравнение $\cos x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2 - 1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$.

а)

Преобразуем правую часть исходного уравнения $ \cos x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2 - 1 $. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$ \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2 = \cos^2 \frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} $.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = 1 - \sin x $.

Подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$ \cos x = (1 - \sin x) - 1 $, что упрощается до $ \cos x = -\sin x $.

Разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Это допустимо, так как если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin x = 0 $, что невозможно, поскольку $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \frac{\cos x}{\cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x} $, откуда получаем $ \tan x = -1 $.

Общее решение этого уравнения:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Найдем корни уравнения, принадлежащие промежутку $ \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right] $. Для этого отберем подходящие целые значения $n$ из двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + \pi n \le 2\pi $.

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ \frac{1}{2} \le -\frac{1}{4} + n \le 2 $.

Прибавим ко всем частям $ \frac{1}{4} $:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \le n \le 2 + \frac{1}{4} $, что дает $ \frac{3}{4} \le n \le \frac{9}{4} $.

В десятичном виде это $ 0.75 \le n \le 2.25 $. Поскольку $n$ — целое число, то $n$ может быть равно $1$ или $2$.

Найдем соответствующие корни:

При $n=1$: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} $.

При $n=2$: $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $.

Оба корня принадлежат указанному промежутку.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.