Номер 340, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 340, страница 404.

340 ЕГЭ

а) Решите уравнение $\cos x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2 - 1$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$.

а)

Преобразуем правую часть исходного уравнения $ \cos x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2 - 1 $. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$ \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2 = \cos^2 \frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} $.

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = 1 - \sin x $.

Подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$ \cos x = (1 - \sin x) - 1 $, что упрощается до $ \cos x = -\sin x $.

Разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Это допустимо, так как если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin x = 0 $, что невозможно, поскольку $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \frac{\cos x}{\cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x} $, откуда получаем $ \tan x = -1 $.

Общее решение этого уравнения:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Найдем корни уравнения, принадлежащие промежутку $ \left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right] $. Для этого отберем подходящие целые значения $n$ из двойного неравенства:

$ \frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + \pi n \le 2\pi $.

Разделим все части неравенства на $ \pi $:

$ \frac{1}{2} \le -\frac{1}{4} + n \le 2 $.

Прибавим ко всем частям $ \frac{1}{4} $:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \le n \le 2 + \frac{1}{4} $, что дает $ \frac{3}{4} \le n \le \frac{9}{4} $.

В десятичном виде это $ 0.75 \le n \le 2.25 $. Поскольку $n$ — целое число, то $n$ может быть равно $1$ или $2$.

Найдем соответствующие корни:

При $n=1$: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} $.

При $n=2$: $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $.

Оба корня принадлежат указанному промежутку.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.