Номер 338, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 338, страница 404.

338 ЕГЭ Найдите $26\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$, если $\cos\alpha = \frac{12}{13}$ и $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Для начала упростим выражение $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$, используя формулы приведения.

Так как косинус является четной функцией, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, мы можем записать:$ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $

Согласно формуле приведения, $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$.Таким образом, исходное выражение $26\cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$ можно переписать как $26\sin \alpha$.

Теперь нам нужно найти значение $\sin \alpha$, зная, что $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ и угол $\alpha$ принадлежит интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, то есть находится в первой четверти. В первой четверти значения синуса и косинуса положительны.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.Выразим из него $\sin^2 \alpha$:$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $

Подставим известное значение $\cos \alpha$:$ \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169}{169} - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Отсюда $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$.Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти $(0; \frac{\pi}{2})$, его синус положителен. Следовательно, $\sin \alpha = \frac{5}{13}$.

Теперь мы можем вычислить искомое значение:$ 26\sin \alpha = 26 \cdot \frac{5}{13} = \frac{26 \cdot 5}{13} = 2 \cdot 5 = 10 $

Ответ: 10