Номер 339, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 339, страница 404.

339 ЕГЭ Решите уравнение $2\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) - 1 = 0$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$2\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) - 1 = 0$

Для начала выразим функцию косинуса. Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) = 1$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) = \frac{1}{2}$

Получили простейшее тригонометрическое уравнение. Решение уравнения вида $\cos(t) = a$ находится по общей формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае аргумент $t = \frac{\pi}{4}x$, а значение $a = \frac{1}{2}$. Применим формулу:

$\frac{\pi}{4}x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Значение арккосинуса от $\frac{1}{2}$ равно $\frac{\pi}{3}$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{\pi}{4}x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{4}{\pi}$:

$x = \left(\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right) \cdot \frac{4}{\pi}$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $\frac{4}{\pi}$:

$x = \pm\frac{\pi}{3} \cdot \frac{4}{\pi} + 2\pi k \cdot \frac{4}{\pi}$

Сократим $\pi$ в каждом члене:

$x = \pm\frac{4}{3} + 8k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{4}{3} + 8k, k \in \mathbb{Z}$.