Номер 344, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 344, страница 405.

344 ЕГЭ Найдите наименьший корень уравнения

$\log_3(x+1)^2 + \log_3|x+1| = 6.$

Исходное уравнение:$$ \log_{3}{(x + 1)^2} + \log_{3}{|x + 1|} = 6 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными.1. Для первого слагаемого: $(x + 1)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, где $x + 1 = 0$, то есть $x \neq -1$.2. Для второго слагаемого: $|x + 1| > 0$. Это неравенство также выполняется для всех $x$, кроме $x = -1$.Итак, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Теперь преобразуем уравнение. Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a}{b^2} = 2\log_{a}{|b|}$. Применим его к первому слагаемому в уравнении:$$ \log_{3}{(x + 1)^2} = 2\log_{3}{|x + 1|} $$Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:$$ 2\log_{3}{|x + 1|} + \log_{3}{|x + 1|} = 6 $$

Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:$$ 3\log_{3}{|x + 1|} = 6 $$

Разделим обе части уравнения на 3:$$ \log_{3}{|x + 1|} = 2 $$

Теперь, по определению логарифма ($b = a^c \iff \log_a b = c$), мы можем записать:$$ |x + 1| = 3^2 $$$$ |x + 1| = 9 $$

Это уравнение с модулем распадается на два случая:1. Выражение под модулем равно 9:$$ x + 1 = 9 $$$$ x = 9 - 1 $$$$ x_1 = 8 $$2. Выражение под модулем равно -9:$$ x + 1 = -9 $$$$ x = -9 - 1 $$$$ x_2 = -10 $$

Оба найденных корня, $x_1 = 8$ и $x_2 = -10$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).Согласно условию задачи, необходимо найти наименьший корень уравнения. Сравним полученные значения:$$ -10 < 8 $$Наименьший корень равен -10.

Ответ: -10