Номер 343, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 343, страница 405.

343 ЕГЭ Найдите значение выражения

$\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}$

при $x = 1,2007$.

Для того чтобы найти значение выражения, мы сначала упростим его. Обозначим исходное выражение через $E$:

$E = \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}$

Заметим, что выражения под внешними корнями похожи на формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Преобразуем первое подкоренное выражение $x - 2\sqrt{x - 1}$. Представим $x$ как $(x-1) + 1$. Тогда:

$x - 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 2\sqrt{x - 1} + 1$

Если мы примем $a = \sqrt{x-1}$ и $b=1$, то получим полный квадрат разности:

$(\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$

Аналогично преобразуем второе подкоренное выражение $x + 2\sqrt{x - 1}$:

$x + 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) + 2\sqrt{x - 1} + 1$

При тех же $a = \sqrt{x-1}$ и $b=1$, мы получаем полный квадрат суммы:

$(\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное:

$E = \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2}$

Воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$):

$E = |\sqrt{x-1} - 1| + |\sqrt{x-1} + 1|$

Теперь подставим заданное значение $x = 1,2007$, чтобы раскрыть модули.

Найдем значение выражения $\sqrt{x-1}$:

$\sqrt{x-1} = \sqrt{1,2007 - 1} = \sqrt{0,2007}$

Оценим значение $\sqrt{0,2007}$. Поскольку $0 < 0,2007 < 1$, то и $\sqrt{0} < \sqrt{0,2007} < \sqrt{1}$, что означает $0 < \sqrt{0,2007} < 1$.

Теперь определим знаки выражений под модулями:

1. $\sqrt{x-1} - 1 = \sqrt{0,2007} - 1$. Так как $\sqrt{0,2007} < 1$, это выражение отрицательно. Значит, $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$.

2. $\sqrt{x-1} + 1 = \sqrt{0,2007} + 1$. Это выражение очевидно положительно, так как является суммой двух положительных чисел. Значит, $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.

Подставим раскрытые модули в упрощенное выражение для $E$:

$E = (1 - \sqrt{x-1}) + (\sqrt{x-1} + 1)$

Теперь выполним сложение:

$E = 1 - \sqrt{x-1} + \sqrt{x-1} + 1 = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2