Номер 345, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 345, страница 405.

345 ЕГЭ Периодическая функция $y = f(x)$ определена для всех действительных чисел. Её период равен 2 и $f(1) = 5$. Найдите значение выражения $3f(7) - 4f(-3)$.

По определению периодической функции с периодом $T$, для любого $x$ из области определения и любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x + nT) = f(x)$.

В условии задачи дана функция $y = f(x)$, которая определена для всех действительных чисел. Её период $T = 2$. Также известно, что $f(1) = 5$. Требуется найти значение выражения $3f(7) - 4f(-3)$.

Для этого нам нужно найти значения $f(7)$ и $f(-3)$, используя известное значение $f(1)$ и свойство периодичности.

1. Найдём $f(7)$.

Представим число 7 в виде $1 + n \cdot 2$, где $n$ — целое число:

$7 = 1 + 6 = 1 + 3 \cdot 2$.

Отсюда видно, что $n=3$. Согласно свойству периодической функции:

$f(7) = f(1 + 3 \cdot 2) = f(1)$.

Поскольку $f(1) = 5$, то $f(7) = 5$.

2. Найдём $f(-3)$.

Аналогично представим число -3 в виде $1 + n \cdot 2$:

$-3 = 1 - 4 = 1 + (-2) \cdot 2$.

Здесь $n=-2$. Согласно свойству периодической функции:

$f(-3) = f(1 + (-2) \cdot 2) = f(1)$.

Поскольку $f(1) = 5$, то $f(-3) = 5$.

3. Вычислим значение выражения.

Теперь подставим найденные значения $f(7)=5$ и $f(-3)=5$ в исходное выражение:

$3f(7) - 4f(-3) = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 5 = 15 - 20 = -5$.

Ответ: -5.