Номер 341, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 341, страница 405.

341 ЕГЭ Найдите значение выражения

$5 \sin (\pi + \alpha) + \cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$

если $\sin \alpha = 0,5$.

Для нахождения значения выражения $5 \sin(\pi + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ необходимо сначала упростить его с помощью тригонометрических формул приведения.

1. Упростим выражение $\sin(\pi + \alpha)$.

Согласно формуле приведения, если к аргументу прибавляется $\pi$, название функции не меняется, но нужно определить знак. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей координатной четверти (если считать $\alpha$ острым углом), где синус отрицателен. Поэтому:

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$

2. Упростим выражение $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$.

Согласно формуле приведения, если к аргументу прибавляется $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Поэтому:

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в исходное:

$5 \sin(\pi + \alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = 5(-\sin \alpha) + (-\sin \alpha) = -5 \sin \alpha - \sin \alpha = -6 \sin \alpha$.

По условию задачи известно, что $\sin \alpha = 0,5$. Подставим это значение в полученное выражение:

$-6 \sin \alpha = -6 \cdot 0,5 = -3$.

Ответ: -3