Номер 334, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 334, страница 404.

334 Найдите наименьшее значение функции:

a) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4}$;

б) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 2} + 1.

а)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4}$.

Заметим, что выражение под корнем представляет собой полный квадрат. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, мы можем преобразовать подкоренное выражение:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

Таким образом, исходную функцию можно переписать в виде:

$y = \sqrt{(x-2)^2}$.

Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:

$y = |x-2|$.

Функция модуля $|x-2|$ по определению принимает только неотрицательные значения. Ее наименьшее значение равно 0. Это значение достигается в том случае, когда выражение под знаком модуля равно нулю:

$x-2 = 0 \implies x=2$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно 0.

Ответ: 0.

б)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 2x + 2 + 1}$.

Сначала упростим выражение под знаком корня:

$x^2 - 2x + 2 + 1 = x^2 - 2x + 3$.

Теперь функция имеет вид: $y = \sqrt{x^2 - 2x + 3}$.

Функция $f(z) = \sqrt{z}$ является возрастающей для всех $z \ge 0$. Поэтому наименьшее значение функции $y$ будет достигаться тогда, когда подкоренное выражение $g(x) = x^2 - 2x + 3$ принимает свое наименьшее значение.

Рассмотрим квадратичную функцию $g(x) = x^2 - 2x + 3$. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля), значит, она имеет точку минимума.

Для нахождения наименьшего значения $g(x)$ выделим полный квадрат:

$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$.

Выражение $(x-1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x-1)^2 \ge 0$. Наименьшее значение, равное 0, оно принимает при $x=1$.

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $g(x)$ равно $0 + 2 = 2$.

Теперь мы можем найти наименьшее значение исходной функции $y$:

$y_{min} = \sqrt{g_{min}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.