Номер 328, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 328, страница 403.

328 Дано n целых чисел, причём $27 < n < 45$. Известно, что среднее арифметическое всех n чисел равно $-5$. Также известно, что среднее арифметическое всех положительных чисел равно $9$ и среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно $-18$.

а) Чему равно n?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

а) Чему равно n?

Пусть $n$ — общее количество чисел.
Пусть $p$ — количество положительных чисел, $m$ — количество отрицательных чисел, а $z$ — количество нулей.
Тогда общее количество чисел равно $n = p + m + z$.

Пусть $S$ — сумма всех $n$ чисел, $S_p$ — сумма положительных чисел, $S_m$ — сумма отрицательных чисел.

Из условий задачи мы можем составить следующие уравнения, основанные на определении среднего арифметического:

• Среднее арифметическое всех $n$ чисел равно -5: $\frac{S}{n} = -5 \implies S = -5n$.
• Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 9: $\frac{S_p}{p} = 9 \implies S_p = 9p$. (Это означает, что $p > 0$).
• Среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -18: $\frac{S_m}{m} = -18 \implies S_m = -18m$. (Это означает, что $m > 0$).

Общая сумма $S$ является суммой положительных, отрицательных чисел и нулей: $S = S_p + S_m$.
Подставим известные выражения для $S$, $S_p$ и $S_m$:$-5n = 9p - 18m$.

Теперь выразим $p$ через $n, m, z$ из уравнения $n = p + m + z$, получим $p = n - m - z$. Подставим это в предыдущее уравнение:
$-5n = 9(n - m - z) - 18m$
$-5n = 9n - 9m - 9z - 18m$
$-5n = 9n - 27m - 9z$
$27m + 9z = 9n + 5n$
$9(3m + z) = 14n$

Из этого уравнения следует, что $14n$ должно быть кратно 9. Так как числа 14 и 9 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), то $n$ должно быть кратно 9.

По условию, $27 < n < 45$. Единственное целое число в этом промежутке, которое делится на 9, — это 36.

Следовательно, $n = 36$.

Ответ: $n=36$.

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

Из пункта (а) мы знаем, что $n=36$ и имеем два уравнения, связывающих $p$, $m$ и $z$:

1. $p + m + z = 36$ (общее количество чисел)
2. $9(3m + z) = 14n \implies 9(3m + z) = 14 \cdot 36 \implies 3m + z = 14 \cdot 4 \implies 3m + z = 56$

Рассмотрим эти два уравнения как систему:
1) $p + m + z = 36$
2) $3m + z = 56$

Выразим $z$ из второго уравнения: $z = 56 - 3m$.
Подставим это выражение для $z$ в первое уравнение:
$p + m + (56 - 3m) = 36$
$p - 2m + 56 = 36$
$p = 2m - 20$

Теперь нам нужно сравнить количество положительных чисел $p$ и отрицательных чисел $m$. Сравним выражение $2m - 20$ с $m$.
Разность $p - m = (2m - 20) - m = m - 20$.

Определим возможные значения для $m$. Так как $p$ и $z$ — это количества чисел, они должны быть неотрицательными целыми числами.
Из условия $p > 0$ следует:
$2m - 20 > 0 \implies 2m > 20 \implies m > 10$.

Из условия $z \ge 0$ следует:
$56 - 3m \ge 0 \implies 56 \ge 3m \implies m \le \frac{56}{3} \implies m \le 18.66...$

Таким образом, $m$ — это целое число в диапазоне $11 \le m \le 18$. Для любого значения $m$ из этого диапазона, разность $m - 20$ будет отрицательной (например, при $m=11$, $11-20 = -9$; при $m=18$, $18-20 = -2$).

Так как $p - m < 0$, то $p < m$. Это означает, что отрицательных чисел всегда больше, чем положительных.

Ответ: отрицательных чисел больше.

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

Из пункта (б) мы получили зависимость количества положительных чисел $p$ от количества отрицательных чисел $m$:
$p = 2m - 20$.

Чтобы найти максимальное значение $p$, нам нужно найти максимальное возможное значение $m$. Из анализа в пункте (б) мы знаем, что возможные целые значения для $m$ лежат в диапазоне $11 \le m \le 18$.

Максимальное значение для $m$ равно 18. Подставим это значение в формулу для $p$:
$p_{max} = 2 \cdot 18 - 20 = 36 - 20 = 16$.

Проверим, что такое распределение возможно.
Если $p = 16$ и $m = 18$:
$n = 36$.
$z = 56 - 3m = 56 - 3 \cdot 18 = 56 - 54 = 2$.
Проверяем общее количество: $p + m + z = 16 + 18 + 2 = 36$. Все сходится.

Таким образом, максимальное количество положительных чисел, которое может быть, составляет 16.

Ответ: 16.