Номер 329, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 329, страница 403.

329 На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Их среднее арифметическое равно -5, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: отрицательных или положительных?

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $N$ — общее количество чисел на доске.
• $p$ — количество положительных чисел.
• $n$ — количество отрицательных чисел.
• $z$ — количество нулей.

Из условия задачи нам известно:

• $36 < N < 48$, то есть $N$ — целое число от 37 до 47.
• Среднее арифметическое всех чисел равно $-5$. Сумма всех чисел $S_{общ} = -5N$.
• Среднее арифметическое положительных чисел равно $6$. Сумма положительных чисел $S_{пол} = 6p$. Так как среднее определено, $p \ge 1$.
• Среднее арифметическое отрицательных чисел равно $-12$. Сумма отрицательных чисел $S_{отр} = -12n$. Так как среднее определено, $n \ge 1$.

Общая сумма чисел складывается из суммы положительных, отрицательных и нулей: $S_{общ} = S_{пол} + S_{отр} + 0$.

Подставив выражения для сумм, получаем основное уравнение:

$-5N = 6p - 12n$

Также общее количество чисел равно $N = p + n + z$.

а) Сколько чисел написано на доске?

Рассмотрим уравнение $-5N = 6p - 12n$. Умножим обе части на $-1$:

$5N = 12n - 6p$

В правой части можно вынести за скобки множитель 6:

$5N = 6(2n - p)$

Из этого равенства следует, что произведение $5N$ делится на 6. Поскольку числа 5 и 6 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), то само число $N$ должно быть кратно 6.

По условию $36 < N < 48$. Единственное целое число в этом интервале, которое делится на 6, это 42.

Таким образом, на доске написано 42 числа.

Ответ: 42.

б) Каких чисел больше: отрицательных или положительных?

Мы установили, что $N=42$. Подставим это значение в уравнение $5N = 6(2n - p)$:

$5 \cdot 42 = 6(2n - p)$

$210 = 6(2n - p)$

Разделим обе части на 6:

$35 = 2n - p$

Выразим количество положительных чисел $p$ через количество отрицательных $n$:

$p = 2n - 35$

Чтобы сравнить $p$ и $n$, найдем их разность:

$p - n = (2n - 35) - n = n - 35$

Теперь нам нужно найти диапазон возможных значений для $n$. Так как $p, n, z$ — это количества чисел, они должны быть целыми неотрицательными числами.

Из условия $p \ge 1$ следует: $2n - 35 \ge 1 \implies 2n \ge 36 \implies n \ge 18$.

Количество нулей $z = N - p - n$. Подставим $N=42$ и $p=2n-35$:

$z = 42 - (2n - 35) - n = 42 - 2n + 35 - n = 77 - 3n$

Из условия $z \ge 0$ следует: $77 - 3n \ge 0 \implies 77 \ge 3n \implies n \le \frac{77}{3} \approx 25.67$.

Поскольку $n$ — целое число, то $n \le 25$.

Итак, $18 \le n \le 25$. Для любого целого $n$ из этого диапазона разность $n - 35$ будет отрицательной (например, при $n=18$ она равна $18-35=-17$; при $n=25$ она равна $25-35=-10$).

Следовательно, $p - n < 0$, что означает $p < n$.

Ответ: отрицательных.

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

Из предыдущего пункта мы знаем, что количество положительных чисел $p$ связано с количеством отрицательных чисел $n$ формулой $p = 2n - 35$.

Чтобы найти максимальное значение $p$, нужно взять максимально возможное значение для $n$. Как мы установили в пункте б), диапазон для $n$ это $18 \le n \le 25$.

Максимальное целое значение для $n$ равно 25.

Подставим это значение в формулу для $p$:

$p_{max} = 2 \cdot 25 - 35 = 50 - 35 = 15$

Этот случай возможен: если $p=15$ и $n=25$, то количество нулей $z = 42 - 15 - 25 = 2$. Все эти значения являются допустимыми. Можно, например, взять 15 чисел, равных 6 (сумма 90), 25 чисел, равных -12 (сумма -300), и 2 нуля. Общая сумма будет $90 - 300 = -210$, а среднее арифметическое $-210 / 42 = -5$, что соответствует условию.

Таким образом, максимальное количество положительных чисел — 15.

Ответ: 15.