Номер 325, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 325, страница 403.

325 ЕГЭ. Весной катер идёт против течения реки в $1 \frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению. Летом течение реки становится на 1 км/ч медленнее, поэтому летом катер идёт против течения реки в $1 \frac{1}{2}$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Обозначим собственную скорость катера как $v_к$ (в км/ч), а скорость течения реки весной — как $v_{т.в}$ (в км/ч). Собственная скорость катера является постоянной величиной.

Рассмотрим движение катера весной. Скорость катера по течению равна $v_к + v_{т.в}$, а скорость против течения — $v_к - v_{т.в}$. Согласно условию, скорость по течению в $1 \frac{2}{3}$ раза больше скорости против течения (или, что то же самое, скорость против течения в $1 \frac{2}{3}$ раза меньше скорости по течению). Составим первое уравнение:
$v_к + v_{т.в} = 1 \frac{2}{3} \cdot (v_к - v_{т.в})$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1 \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 1 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
$v_к + v_{т.в} = \frac{5}{3} (v_к - v_{т.в})$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3:
$3(v_к + v_{т.в}) = 5(v_к - v_{т.в})$
$3v_к + 3v_{т.в} = 5v_к - 5v_{т.в}$
$3v_{т.в} + 5v_{т.в} = 5v_к - 3v_к$
$8v_{т.в} = 2v_к$
Выразим собственную скорость катера:
$v_к = 4v_{т.в}$

Теперь рассмотрим движение катера летом. Скорость течения летом на 1 км/ч меньше, чем весной, поэтому скорость течения летом $v_{т.л} = v_{т.в} - 1$.
Скорость катера по течению летом равна $v_к + v_{т.л}$, а против течения — $v_к - v_{т.л}$.
По условию, летом скорость по течению в $1 \frac{1}{2}$ раза больше скорости против течения. Составим второе уравнение:
$v_к + v_{т.л} = 1 \frac{1}{2} \cdot (v_к - v_{т.л})$
Переведем смешанное число в дробь: $1 \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
$v_к + v_{т.л} = \frac{3}{2} (v_к - v_{т.л})$
Умножим обе части уравнения на 2:
$2(v_к + v_{т.л}) = 3(v_к - v_{т.л})$
$2v_к + 2v_{т.л} = 3v_к - 3v_{т.л}$
$2v_{т.л} + 3v_{т.л} = 3v_к - 2v_к$
$5v_{т.л} = v_к$

Мы получили два выражения для собственной скорости катера $v_к$:
1) $v_к = 4v_{т.в}$
2) $v_к = 5v_{т.л}$
Приравняем их правые части, так как левые части равны:
$4v_{т.в} = 5v_{т.л}$
Теперь подставим в это равенство выражение для летней скорости течения $v_{т.л} = v_{т.в} - 1$:
$4v_{т.в} = 5(v_{т.в} - 1)$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $v_{т.в}$:
$4v_{т.в} = 5v_{т.в} - 5$
$5 = 5v_{т.в} - 4v_{т.в}$
$v_{т.в} = 5$
Таким образом, мы нашли, что скорость течения весной равна 5 км/ч.

Ответ: 5