Номер 330, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 330, страница 404.

330 На доске написано более 30, но менее 40 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -10.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

а) Сколько чисел написано на доске?

Обозначим общее количество чисел на доске как $N$. По условию, $30 < N < 40$. Пусть $p$ — количество положительных чисел, $n$ — количество отрицательных чисел, а $z$ — количество нулей. Тогда $N = p + n + z$.

Сумма всех чисел $S$ связана с их средним арифметическим $(-3)$ формулой: $S = -3N$. Аналогично, сумма всех положительных чисел $S_p$ равна $S_p = 5p$, а сумма всех отрицательных чисел $S_n$ равна $S_n = -10n$.

Общая сумма чисел складывается из суммы положительных, отрицательных чисел и нулей: $S = S_p + S_n + 0$. Подставив выражения для сумм, получим уравнение: $-3N = 5p - 10n$

Вынесем 5 за скобки в правой части уравнения: $-3N = 5(p - 2n)$

Из этого уравнения следует, что $-3N$ должно быть кратно 5. Поскольку числа 3 и 5 взаимно простые, само число $N$ должно быть кратно 5. В промежутке от 30 до 40 есть только одно целое число, кратное 5, — это 35. Следовательно, на доске написано 35 чисел.

Ответ: 35.

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

Для ответа на этот вопрос нам нужно сравнить $p$ и $n$. Воспользуемся уравнениями, полученными при решении пункта а).

Мы знаем, что $N = 35$, и имеем два основных соотношения:
1) $N = p + n + z \implies 35 = p + n + z$
2) $-3N = 5p - 10n \implies -3(p+n+z) = 5p - 10n$

Раскроем скобки во втором уравнении и преобразуем его:
$-3p - 3n - 3z = 5p - 10n$
Перенесем члены с $p$ в одну сторону, а с $n$ в другую:
$10n - 3n = 5p + 3p + 3z$
$7n = 8p + 3z$

Представим $8p$ как $7p + p$:
$7n = 7p + p + 3z$
Перенесем $7p$ в левую часть:
$7n - 7p = p + 3z$
$7(n - p) = p + 3z$

По условию, на доске есть положительные числа (их среднее равно 5), значит $p \ge 1$. Количество нулей $z$ является неотрицательным целым числом ($z \ge 0$). Следовательно, правая часть уравнения $p + 3z$ всегда положительна: $p + 3z \ge 1 + 3 \cdot 0 = 1$.
Раз $p + 3z > 0$, то и левая часть $7(n - p)$ также должна быть положительна. Это означает, что разность $(n - p)$ положительна, то есть $n > p$.

Ответ: отрицательных.

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

Нам нужно найти максимальное возможное значение $p$. Воспользуемся уравнением, связывающим $p$ и $z$, которое мы вывели в пункте б): $49 = 3p + 2z$. Это уравнение мы получили из системы:
$7n = 8p + 3z$
$n = 35 - p - z$
$7(35 - p - z) = 8p + 3z$
$245 - 7p - 7z = 8p + 3z$
$245 = 15p + 10z$
Разделив обе части на 5, получаем: $49 = 3p + 2z$.

Выразим $3p$ из этого уравнения:
$3p = 49 - 2z$

Чтобы значение $p$ было максимальным, значение $z$ должно быть минимально возможным. Так как $z$ — это количество нулей, его минимальное значение равно 0 ($z \ge 0$). Кроме того, $p$ должно быть целым числом, поэтому выражение $49 - 2z$ должно быть кратно 3.

Проверим минимальные возможные значения $z$:

• Если $z=0$, то $3p = 49 - 2(0) = 49$. 49 не делится на 3.
• Если $z=1$, то $3p = 49 - 2(1) = 47$. 47 не делится на 3.
• Если $z=2$, то $3p = 49 - 2(2) = 45$. 45 делится на 3.

При $z=2$ получаем $3p = 45$, откуда $p = 15$.

При увеличении $z$ значение $49 - 2z$ будет уменьшаться, а следовательно, будет уменьшаться и $p$. Таким образом, максимальное значение $p$ достигается при наименьшем подходящем $z$, то есть при $z=2$. Проверим, что такая ситуация возможна. Если $p=15$ и $z=2$, то количество отрицательных чисел $n = 35 - p - z = 35 - 15 - 2 = 18$. Все условия задачи выполняются: $N=35$, $p=15$, $n=18$, $z=2$.

Ответ: 15.