Номер 332, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 332, страница 404.

332 Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 25}}{x - 5};$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{6 - x}.$

a) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 25}}{x - 5}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 25 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 5 \ne 0$.

Рассмотрим оба условия по отдельности.

1. Решим неравенство $x^2 - 25 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 5)(x + 5) \ge 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.
Это парабола $y = x^2 - 25$ с ветвями, направленными вверх. Она принимает неотрицательные значения, когда $x$ находится за пределами корней или в самих корнях.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

2. Решим условие $x - 5 \ne 0$.
$x \ne 5$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих условий. Мы должны взять множество $x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$ и исключить из него точку $x = 5$.
Исключая точку $x = 5$ из промежутка $[5, \infty)$, мы получаем открытый справа промежуток $(5, \infty)$. Промежуток $(-\infty, -5]$ не содержит точку $5$ и остается без изменений.
Следовательно, область определения функции: $x \in (-\infty, -5] \cup (5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup (5, \infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{6 - x}$

Аналогично предыдущему пункту, область определения этой функции определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 36 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $6 - x \ne 0$.

Рассмотрим оба условия.

1. Решим неравенство $x^2 - 36 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - 6)(x + 6) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 6) = 0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
График функции $y = x^2 - 36$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения на интервалах $(-\infty, -6]$ и $[6, \infty)$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

2. Решим условие $6 - x \ne 0$.
$x \ne 6$.

Объединим результаты. Необходимо из множества решений первого неравенства $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$ исключить точку $x = 6$, которая не удовлетворяет второму условию.
Исключая точку $x = 6$ из промежутка $[6, \infty)$, мы получаем открытый промежуток $(6, \infty)$. Промежуток $(-\infty, -6]$ не изменяется.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -6] \cup (6, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup (6, \infty)$.