Номер 326, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 326, страница 403.

326 ЕГЭ Каждое из чисел 3, 4, ..., 8 умножают на каждое из чисел 9, 10, ..., 17 и перед каждым из полученных произведений ставят произвольным образом знак «плюс» или «минус», после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Наибольшая сумма

Чтобы получить наибольшую возможную сумму, необходимо, чтобы все 54 произведения были со знаком «плюс». В этом случае итоговая сумма $S_{max}$ будет равна сумме всех произведений.

Пусть $A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ и $B = \{9, 10, \dots, 17\}$.

Сумма всех произведений каждого числа из множества $A$ на каждое число из множества $B$ может быть вычислена как произведение сумм элементов этих множеств:

$S_{max} = \left(\sum_{i \in A} i\right) \cdot \left(\sum_{j \in B} j\right)$

Найдем сумму чисел в первом множестве $A$:
$S_A = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33$

Найдем сумму чисел во втором множестве $B$. Это арифметическая прогрессия. Количество членов в ней: $17 - 9 + 1 = 9$.
Сумма $S_B$ вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:

$S_B = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot \text{количество членов}$

$S_B = \frac{9 + 17}{2} \cdot 9 = \frac{26}{2} \cdot 9 = 13 \cdot 9 = 117$

Теперь вычислим наибольшую сумму:

$S_{max} = S_A \cdot S_B = 33 \cdot 117 = 3861$

Ответ: 3861

Наименьшая по модулю сумма

Итоговая сумма $S$ представляет собой алгебраическую сумму 54 произведений вида $i \cdot j$, где $i \in \{3, 4, \dots, 8\}$ и $j \in \{9, 10, \dots, 17\}$.

$S = \sum_{i=3}^{8} \sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{ij} \cdot i \cdot j$, где $\varepsilon_{ij}$ принимает значение $+1$ или $-1$.

Проанализируем четность итоговой суммы $S$. Четность слагаемого $i \cdot j$ зависит от четности сомножителей $i$ и $j$. Произведение является нечетным тогда и только тогда, когда оба сомножителя нечетны.

В первом множестве $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ содержатся 3 нечетных числа: $\{3, 5, 7\}$.

Во втором множестве $\{9, 10, \dots, 17\}$ содержится 5 нечетных чисел: $\{9, 11, 13, 15, 17\}$.

Количество произведений, являющихся нечетными числами, равно произведению количеств нечетных чисел в каждом множестве: $3 \cdot 5 = 15$.

Остальные $54 - 15 = 39$ произведений являются четными числами.

Итоговая сумма $S$ состоит из 15 нечетных слагаемых и 39 четных слагаемых. Сумма любого количества четных чисел всегда четна. Сумма нечетного числа (15) нечетных чисел всегда нечетна.

Следовательно, $S = (\text{сумма 15 нечетных}) + (\text{сумма 39 четных}) = \text{нечетное} + \text{четное} = \text{нечетное}$.

Поскольку итоговая сумма $S$ всегда является нечетным числом, она не может быть равна нулю. Наименьшее по модулю ненулевое нечетное целое число — это 1. Значит, наименьшее возможное значение $|S|$ не меньше 1. Докажем, что сумму, равную 1, можно получить.

Представим сумму $S$ в виде:

$S = 3 \cdot (\sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{3j}j) + 4 \cdot (\sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{4j}j) + \dots + 8 \cdot (\sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{8j}j)$

Обозначим $C_i = \sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{ij}j$. Тогда $S = 3C_3 + 4C_4 + 5C_5 + 6C_6 + 7C_7 + 8C_8$.

Для каждого $i$ мы можем выбрать свой набор знаков $\varepsilon_{ij}$. Покажем, что можно подобрать знаки так, чтобы $C_i$ было равно 1 (или -1). Сумма чисел в множестве $B$ равна $S_B = 117$. Чтобы получить $C_i = 1$, нужно разбить множество $B$ на две группы $P_1$ и $P_2$ так, чтобы $\sum_{p \in P_1}p - \sum_{q \in P_2}q = 1$. Это равносильно поиску подмножества $P_1$ с суммой элементов, равной $\frac{117+1}{2} = 59$. Такое подмножество существует, например, $\{11, 15, 16, 17\}$ ($11+15+16+17=59$). Таким образом, мы можем сделать любой из коэффициентов $C_i$ равным 1 (или -1, поменяв все знаки на противоположные).

Теперь нам нужно подобрать знаки $\delta_i \in \{+1, -1\}$ так, чтобы итоговая сумма была равна 1:

$3\delta_3 + 4\delta_4 + 5\delta_5 + 6\delta_6 + 7\delta_7 + 8\delta_8 = 1$

Это задача о разбиении множества $A=\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ на две группы с разностью сумм 1. Сумма чисел в $A$ равна $S_A = 33$. Нам нужно найти подмножество $A_1 \subset A$, сумма элементов которого равна $\frac{33+1}{2} = 17$. Такое подмножество существует, например, $\{3, 6, 8\}$ ($3+6+8=17$).

Это означает, что мы можем выбрать $\delta_3=1, \delta_4=-1, \delta_5=-1, \delta_6=1, \delta_7=-1, \delta_8=1$.

Таким образом, мы можем выбрать знаки $\varepsilon_{ij}$ так, чтобы:

• $C_3=1, C_6=1, C_8=1$ (для этого берем знаки «+» у произведений с $j \in \{11,15,16,17\}$ и «-» для остальных).
• $C_4=-1, C_5=-1, C_7=-1$ (для этого берем знаки «-» у произведений с $j \in \{11,15,16,17\}$ и «+» для остальных).

При таком выборе знаков итоговая сумма будет равна:

$S = 3(1) + 4(-1) + 5(-1) + 6(1) + 7(-1) + 8(1) = 3-4-5+6-7+8 = 1$.

Поскольку сумма всегда нечетна и мы показали, что можно получить сумму 1, наименьшая по модулю сумма равна 1.

Ответ: 1