Номер 327, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Разные задачи - номер 327, страница 403.

Условие.

327 ЕГЭ Перед каждым из чисел $14, 15, ..., 20$ и $4, 5, ..., 8$ произвольным образом ставят знак «плюс» или «минус», после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Пусть первый набор чисел будет $A = \{14, 15, \dots, 20\}$, а второй — $B = \{4, 5, \dots, 8\}$. Количество чисел в наборе A равно $n_A = 20 - 14 + 1 = 7$. Количество чисел в наборе B равно $n_B = 8 - 4 + 1 = 5$.

Обозначим через $s_i \in \{-1, 1\}$ знак, который ставят перед числом $a_i \in A$, и через $t_j \in \{-1, 1\}$ — знак перед числом $b_j \in B$. Образовавшиеся числа будут $a'_i = s_i a_i$ и $b'_j = t_j b_j$.

По условию, из каждого из 7 чисел $a'_i$ вычитают каждое из 5 чисел $b'_j$, а затем все 35 полученных результатов складывают. Обозначим итоговую сумму через $S$.

$S = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{5} (a'_i - b'_j) = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{5} (s_i a_i - t_j b_j)$

Разобьем сумму на две части: $S = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{5} (s_i a_i) - \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{5} (t_j b_j)$

В первой части слагаемое $s_i a_i$ для каждого $i$ суммируется $n_B = 5$ раз. Во второй части слагаемое $t_j b_j$ для каждого $j$ суммируется $n_A = 7$ раз. $S = 5 \sum_{i=1}^{7} s_i a_i - 7 \sum_{j=1}^{5} t_j b_j$

Введем обозначения для сумм чисел с учетом знаков: $A' = \sum_{i=1}^{7} s_i a_i$ $B' = \sum_{j=1}^{5} t_j b_j$ Тогда итоговое выражение для суммы примет вид: $S = 5A' - 7B'$

Наибольшая сумма

Чтобы получить наибольшую возможную сумму $S$, необходимо сделать значение $5A'$ максимальным, а значение $7B'$ — минимальным. Это достигается при максимизации $A'$ и минимизации $B'$.

Значение $A'$ максимально, когда все знаки $s_i$ положительны ($s_i = 1$). $A'_{max} = 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20$. Это сумма арифметической прогрессии: $A'_{max} = \frac{7}{2}(14 + 20) = \frac{7}{2} \cdot 34 = 7 \cdot 17 = 119$.

Значение $B'$ минимально, когда все знаки $t_j$ отрицательны ($t_j = -1$). $B'_{min} = -(4 + 5 + 6 + 7 + 8)$. Это также сумма арифметической прогрессии: $B'_{min} = -\frac{5}{2}(4 + 8) = -\frac{5}{2} \cdot 12 = -5 \cdot 6 = -30$.

Теперь можем вычислить наибольшую сумму $S_{max}$: $S_{max} = 5 \cdot A'_{max} - 7 \cdot B'_{min} = 5 \cdot 119 - 7 \cdot (-30) = 595 + 210 = 805$.

Ответ: 805.

Наименьшая по модулю сумма

Требуется найти наименьшее возможное значение $|S| = |5A' - 7B'|$. Проанализируем четность величин $A'$ и $B'$.

Сумма чисел в наборе A равна $\sum a_i = 119$, что является нечетным числом. Значение $A' = \sum s_i a_i$ можно представить в виде $\sum a_i - 2 \cdot (\text{сумма чисел со знаком «минус»})$. Так как $\sum a_i$ — нечетное, а второе слагаемое — четное, то $A'$ всегда будет нечетным числом.

Сумма чисел в наборе B равна $\sum b_j = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30$, что является четным числом. Аналогично, $B' = \sum t_j b_j = \sum b_j - 2 \cdot (\text{сумма чисел со знаком «минус»})$. Так как $\sum b_j$ — четное, и второе слагаемое — четное, то $B'$ всегда будет четным числом.

Рассмотрим итоговую сумму $S = 5A' - 7B'$. Поскольку $A'$ — нечетное, $5A'$ — нечетное. Поскольку $B'$ — четное, $7B'$ — четное. Разность нечетного и четного чисел всегда нечетна. Следовательно, итоговая сумма $S$ всегда является нечетным числом.

Так как $S$ никогда не может быть равно нулю, наименьшее возможное значение $|S|$ равно 1, если удастся подобрать такие знаки $s_i$ и $t_j$, что $S=1$ или $S=-1$.

Проверим, можно ли получить $S = 1$. Для этого нужно найти такие значения $A'$ и $B'$, что $5A' - 7B' = 1$. Это линейное диофантово уравнение. Мы ищем частное решение, где $A'$ — достижимое нечетное значение, а $B'$ — достижимое четное значение. Перепишем уравнение: $5A' = 7B' + 1$. Отсюда следует, что $7B' + 1$ должно делиться на 5. Проверим возможные четные значения для $B'$: При $B'=-8$, выражение $7(-8)+1=-55$ делится на 5. В этом случае $5A'=-55 \implies A'=-11$.

Мы нашли потенциальное решение: $A' = -11$ (нечетное) и $B' = -8$ (четное). Теперь нужно проверить, можно ли получить такие значения, расставляя знаки перед числами в наборах A и B.

Возможно ли получить $A' = -11$? Для этого нужно, чтобы сумма тех чисел из набора A, перед которыми ставится знак «минус», была равна $\frac{\sum a_i - A'}{2} = \frac{119 - (-11)}{2} = \frac{130}{2} = 65$. Найдем подмножество $A = \{14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$, сумма элементов которого равна 65. Например, $14 + 16 + 17 + 18 = 65$. Следовательно, значение $A' = -11$ достижимо: $(15+19+20) - (14+16+17+18) = 54 - 65 = -11$.

Возможно ли получить $B' = -8$? Сумма тех чисел из набора B, перед которыми ставится знак «минус», должна быть равна $\frac{\sum b_j - B'}{2} = \frac{30 - (-8)}{2} = \frac{38}{2} = 19$. Найдем подмножество $B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$, сумма элементов которого равна 19. Например, $4 + 7 + 8 = 19$. Следовательно, значение $B' = -8$ достижимо: $(5+6) - (4+7+8) = 11 - 19 = -8$.

Поскольку мы нашли расстановку знаков, при которой $A'=-11$ и $B'=-8$, мы можем получить сумму $S = 5(-11) - 7(-8) = -55 + 56 = 1$. Таким образом, наименьшая по модулю сумма равна 1.

Ответ: 1.