Номер 324, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Разные задачи - номер 324, страница 403.

Условие.

324 На путь между двумя пристанями против течения реки катер тратит в $1 \frac{2}{11}$ раза больше времени, чем на тот же путь по течению. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $v_т$ — скорость течения реки.
• $S$ — расстояние между пристанями.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения, и она равна $v_{по} = v_к + v_т$.

Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения, и она равна $v_{против} = v_к - v_т$.

Время, необходимое для прохождения расстояния $S$, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. Соответственно, время движения по течению $t_{по} = \frac{S}{v_к + v_т}$, а время движения против течения $t_{против} = \frac{S}{v_к - v_т}$.

Из условия задачи известно, что на путь против течения катер тратит в $1\frac{2}{11}$ раза больше времени, чем на путь по течению. Запишем это в виде математического равенства:$t_{против} = 1\frac{2}{11} \cdot t_{по}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений:$1\frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11}$

Теперь подставим выражения для времени в наше равенство:$\frac{S}{v_к - v_т} = \frac{13}{11} \cdot \frac{S}{v_к + v_т}$

Расстояние $S$ одинаково в обоих случаях и не равно нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $S$:$\frac{1}{v_к - v_т} = \frac{13}{11(v_к + v_т)}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим уравнение крест-накрест):$11(v_к + v_т) = 13(v_к - v_т)$

Раскроем скобки:$11v_к + 11v_т = 13v_к - 13v_т$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $v_к$, в одной части уравнения, а слагаемые, содержащие $v_т$, — в другой:$11v_т + 13v_т = 13v_к - 11v_к$

Выполним сложение и вычитание:$24v_т = 2v_к$

Чтобы найти, во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения, необходимо найти отношение $\frac{v_к}{v_т}$. Для этого разделим обе части равенства на $2v_т$:$\frac{2v_к}{2v_т} = \frac{24v_т}{2v_т}$

После сокращения получаем:$\frac{v_к}{v_т} = 12$

Это означает, что собственная скорость катера в 12 раз больше скорости течения реки.

Ответ: в 12 раз.