Номер 324, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 324, страница 403.

324 На путь между двумя пристанями против течения реки катер тратит в $1 \frac{2}{11}$ раза больше времени, чем на тот же путь по течению. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $v_т$ — скорость течения реки.
• $S$ — расстояние между пристанями.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения, и она равна $v_{по} = v_к + v_т$.

Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения, и она равна $v_{против} = v_к - v_т$.

Время, необходимое для прохождения расстояния $S$, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. Соответственно, время движения по течению $t_{по} = \frac{S}{v_к + v_т}$, а время движения против течения $t_{против} = \frac{S}{v_к - v_т}$.

Из условия задачи известно, что на путь против течения катер тратит в $1\frac{2}{11}$ раза больше времени, чем на путь по течению. Запишем это в виде математического равенства:$t_{против} = 1\frac{2}{11} \cdot t_{по}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений:$1\frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11}$

Теперь подставим выражения для времени в наше равенство:$\frac{S}{v_к - v_т} = \frac{13}{11} \cdot \frac{S}{v_к + v_т}$

Расстояние $S$ одинаково в обоих случаях и не равно нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $S$:$\frac{1}{v_к - v_т} = \frac{13}{11(v_к + v_т)}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим уравнение крест-накрест):$11(v_к + v_т) = 13(v_к - v_т)$

Раскроем скобки:$11v_к + 11v_т = 13v_к - 13v_т$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $v_к$, в одной части уравнения, а слагаемые, содержащие $v_т$, — в другой:$11v_т + 13v_т = 13v_к - 11v_к$

Выполним сложение и вычитание:$24v_т = 2v_к$

Чтобы найти, во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения, необходимо найти отношение $\frac{v_к}{v_т}$. Для этого разделим обе части равенства на $2v_т$:$\frac{2v_к}{2v_т} = \frac{24v_т}{2v_т}$

После сокращения получаем:$\frac{v_к}{v_т} = 12$

Это означает, что собственная скорость катера в 12 раз больше скорости течения реки.

Ответ: в 12 раз.