Номер 323, страница 402 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 323, страница 402.

323 Машина едет из пункта $A$ в пункт $B$ через перевал $C$ (от $A$ до $C$ подъём, от $C$ до $B$ спуск). На подъёме и спуске скорости машины постоянны. Отношение времени подъёма к времени спуска при движении из $A$ в $B$ равно 1,6, а при движении из $B$ в $A$ — 0,9.

a) Во сколько раз скорость машины на подъёме меньше её скорости на спуске?

б) Во сколько раз расстояние $AC$ больше расстояния $CB$?

Обозначим основные величины:
$S_{AC}$ – расстояние от пункта A до перевала C (подъём при движении из A в B).
$S_{CB}$ – расстояние от перевала C до пункта B (спуск при движении из A в B).
$v_п$ – постоянная скорость машины на подъёме.
$v_с$ – постоянная скорость машины на спуске.

Рассмотрим движение по маршруту из A в B:
Время на подъём (участок AC): $t_{п, AB} = \frac{S_{AC}}{v_п}$.
Время на спуск (участок CB): $t_{с, AB} = \frac{S_{CB}}{v_с}$.
Согласно условию, отношение времени подъёма ко времени спуска равно 1,6:
$\frac{t_{п, AB}}{t_{с, AB}} = \frac{S_{AC}/v_п}{S_{CB}/v_с} = \frac{S_{AC}}{S_{CB}} \cdot \frac{v_с}{v_п} = 1,6$ (1)

Рассмотрим движение по обратному маршруту из B в A:
На этом пути участок BC становится подъёмом, а участок CA – спуском.
Время на подъём (участок BC): $t_{п, BA} = \frac{S_{CB}}{v_п}$.
Время на спуск (участок CA): $t_{с, BA} = \frac{S_{AC}}{v_с}$.
Согласно условию, отношение времени подъёма ко времени спуска равно 0,9:
$\frac{t_{п, BA}}{t_{с, BA}} = \frac{S_{CB}/v_п}{S_{AC}/v_с} = \frac{S_{CB}}{S_{AC}} \cdot \frac{v_с}{v_п} = 0,9$ (2)

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными отношениями: $\frac{S_{AC}}{S_{CB}}$ и $\frac{v_с}{v_п}$.

а) Во сколько раз скорость машины на подъёме меньше её скорости на спуске?

Чтобы найти отношение скоростей $\frac{v_с}{v_п}$, перемножим левые и правые части уравнений (1) и (2):
$(\frac{S_{AC}}{S_{CB}} \cdot \frac{v_с}{v_п}) \cdot (\frac{S_{CB}}{S_{AC}} \cdot \frac{v_с}{v_п}) = 1,6 \cdot 0,9$

Сократив в левой части дроби с расстояниями, получим:
$(\frac{v_с}{v_п})^2 = 1,44$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим искомое отношение скоростей (так как скорость — величина положительная, выбираем положительный корень):
$\frac{v_с}{v_п} = \sqrt{1,44} = 1,2$

Это означает, что скорость на спуске в 1,2 раза больше скорости на подъёме, или, что эквивалентно, скорость на подъёме в 1,2 раза меньше скорости на спуске.

Ответ: в 1,2 раза.

б) Во сколько раз расстояние AC больше расстояния CB?

Для ответа на этот вопрос нам нужно найти отношение расстояний $\frac{S_{AC}}{S_{CB}}$. Воспользуемся уравнением (1) и результатом, полученным в пункте а).
Уравнение (1): $\frac{S_{AC}}{S_{CB}} \cdot \frac{v_с}{v_п} = 1,6$

Мы уже знаем, что $\frac{v_с}{v_п} = 1,2$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{S_{AC}}{S_{CB}} \cdot 1,2 = 1,6$

Теперь выразим искомое отношение расстояний:
$\frac{S_{AC}}{S_{CB}} = \frac{1,6}{1,2} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

Таким образом, расстояние AC в $\frac{4}{3}$ раза больше расстояния CB.

Ответ: в $\frac{4}{3}$ раза (или примерно в 1,33 раза).