Номер 333, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 333, страница 404.

333 Укажите множество значений функции $y = 2^x + 5$.

Для нахождения множества значений функции $y = 2^x + 5$ необходимо проанализировать ее свойства.

1. В основе данной функции лежит показательная функция $f(x) = 2^x$. Известно, что область значений показательной функции $a^x$ при $a > 0$ и $a \neq 1$ — это все положительные числа. В нашем случае основание $a=2$, что больше 1. Следовательно, для любого действительного числа $x$ значение выражения $2^x$ всегда будет строго больше нуля.

Это можно записать в виде неравенства:

$2^x > 0$

2. Исходная функция $y = 2^x + 5$ получена из функции $f(x) = 2^x$ путем прибавления константы 5. Геометрически это означает, что график функции $y = 2^x + 5$ получается из графика функции $y = 2^x$ сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат (оси OY).

3. Чтобы найти множество значений функции $y$, нужно применить это преобразование к неравенству, описывающему область значений функции $f(x) = 2^x$. Прибавим 5 к обеим частям неравенства $2^x > 0$:

$2^x + 5 > 0 + 5$

Так как $y = 2^x + 5$, получаем:

$y > 5$

Таким образом, множество всех значений, которые может принимать функция $y$, — это все числа, строго большие 5. В виде числового промежутка это записывается как $(5; +\infty)$.

Ответ: $(5; +\infty)$.