Номер 336, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 336, страница 404.

336 Найдите наибольшее значение функции:

a) $y = -\sqrt{x^2 + 6x + 9}$;

б) $y = 5 - \sqrt{x^2 - 2x + 2}$.

а) Чтобы найти наибольшее значение функции $y = -\sqrt{x^2 + 6x + 9}$, нужно найти наименьшее возможное значение выражения $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$, так как перед корнем стоит знак минус.

Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому его наименьшее значение равно 0. Чтобы это проверить, рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 6x + 9$.

Это выражение является полным квадратом: $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Тогда функцию можно переписать в виде: $y = -\sqrt{(x+3)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = -|x+3|$.

Выражение $|x+3|$ всегда больше или равно нулю. Его наименьшее значение равно 0 (при $x = -3$).

Следовательно, наибольшее значение функции $y$ достигается, когда $|x+3|$ минимально, то есть равно 0.

$y_{наиб} = -0 = 0$.

Ответ: 0.

б) Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 5 - \sqrt{x^2 - 2x + 2}$, нужно из 5 вычесть наименьшее возможное значение. Это означает, что нам нужно найти наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 - 2x + 2}$.

Чтобы минимизировать значение корня, нужно минимизировать подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 2x + 2$.

Подкоренное выражение является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине. Найдем его, выделив полный квадрат:

$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$.

Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x = 1$).

Значит, наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ равно $0 + 1 = 1$.

Тогда наименьшее значение корня равно $\sqrt{1} = 1$.

Теперь можем найти наибольшее значение исходной функции:

$y_{наиб} = 5 - 1 = 4$.

Ответ: 4.