Номер 335, страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 335, страница 404.

335 ЕГЭ Найдите наименьшее значение функции

$y = \sqrt{x^2 - 12x + 37} - 3.$

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 12x + 37} - 3$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $g(x) = x^2 - 12x + 37$, поскольку функция $f(z) = \sqrt{z}$ является монотонно возрастающей для $z \ge 0$. Чем меньше значение подкоренного выражения, тем меньше значение самого корня и, следовательно, всей функции $y$.

Подкоренное выражение $g(x) = x^2 - 12x + 37$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Своё наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Существует два основных способа найти наименьшее значение этой квадратичной функции.

Способ 1: Нахождение вершины параболы
Абсцисса вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $a=1$, $b=-12$, $c=37$.
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Теперь подставим найденное значение $x_0 = 6$ в функцию $g(x)$, чтобы найти её наименьшее значение: $g_{min} = g(6) = 6^2 - 12 \cdot 6 + 37 = 36 - 72 + 37 = 1$.

Способ 2: Выделение полного квадрата
Преобразуем выражение $x^2 - 12x + 37$:
$x^2 - 12x + 37 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 36) - 36 + 37 = (x - 6)^2 + 1$.
Выражение $(x-6)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-6)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=6$.
Следовательно, наименьшее значение для $g(x)$ равно $0 + 1 = 1$.

Оба способа показали, что наименьшее значение подкоренного выражения равно 1. Оно положительно, поэтому функция $y$ определена.

Теперь мы можем вычислить наименьшее значение исходной функции $y$, подставив в нее найденное минимальное значение подкоренного выражения: $y_{min} = \sqrt{1} - 3 = 1 - 3 = -2$.

Ответ: $-2$