Номер 342, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 342, страница 405.

342 ЕГЭ Найдите значение выражения $2^x - y$, если $(x; y)$ является решением системы уравнений $\begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2 \\ 2^{x+1} - 3y = 43. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо найти значения переменных $x$ и $y$ из предложенной системы уравнений, а затем подставить их в выражение $2^x - y$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2 \\ 2^{x+1} - 3y = 43 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2 \\ 2 \cdot 2^x - 3y = 43 \end{cases} $$

Для упрощения решения введем замену переменной. Пусть $a = 2^x$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} 7a + 6y = 2 \\ 2a - 3y = 43 \end{cases} $$

Это система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$2 \cdot (2a - 3y) = 2 \cdot 43$

$4a - 6y = 86$

Теперь сложим первое уравнение ($7a + 6y = 2$) и полученное новое уравнение ($4a - 6y = 86$):

$(7a + 6y) + (4a - 6y) = 2 + 86$

$11a = 88$

$a = \frac{88}{11} = 8$

Теперь вернемся к замене, чтобы найти $x$:

$a = 2^x$

$8 = 2^x$

Так как $8 = 2^3$, то $2^3 = 2^x$, откуда следует, что $x = 3$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $a=8$ в любое из уравнений системы. Например, в первое:

$7a + 6y = 2$

$7(8) + 6y = 2$

$56 + 6y = 2$

$6y = 2 - 56$

$6y = -54$

$y = \frac{-54}{6} = -9$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(x; y) = (3; -9)$.

Осталось найти значение выражения $2^x - y$:

$2^x - y = 2^3 - (-9) = 8 + 9 = 17$

Ответ: 17.