Номер 347, страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 347, страница 405.

347 ЕГЭ

Найдите все значения $x$, которые удовлетворяют неравенству $(2a - 1)x^2 < (a + 1)x + 3a$ при любом значении параметра $a$, принадлежащем промежутку $(1; 2)$.

Перепишем исходное неравенство $(2a - 1)x^2 < (a + 1)x + 3a$ так, чтобы сгруппировать члены с параметром $a$ в одной части:

$(2a - 1)x^2 - (a + 1)x - 3a < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые относительно $a$:

$2ax^2 - x^2 - ax - x - 3a < 0$

$a(2x^2 - x - 3) - (x^2 + x) < 0$

Рассмотрим левую часть этого неравенства как функцию от параметра $a$: $f(a) = a(2x^2 - x - 3) - (x^2 + x)$. Для каждого фиксированного значения $x$ эта функция является линейной относительно переменной $a$. По условию, неравенство $f(a) < 0$ должно выполняться для любого значения $a$ из промежутка $(1; 2)$.

График линейной функции $f(a)$ на отрезке $[1; 2]$ — это отрезок прямой. Для того чтобы значения функции были строго отрицательны на всем интервале $(1; 2)$, необходимо и достаточно, чтобы значения на концах этого промежутка были неположительны, то есть $f(1) \le 0$ и $f(2) \le 0$. При этом необходимо исключить случай, когда $f(1) = 0$ и $f(2) = 0$ одновременно, так как в этом случае $f(a) = 0$ для всех $a \in [1; 2]$, что не удовлетворяет строгому неравенству $f(a) < 0$.

Составим систему из двух неравенств:

$\begin{cases} f(1) \le 0 \\ f(2) \le 0 \end{cases}$

Найдем выражения для $f(1)$ и $f(2)$:

$f(1) = 1 \cdot (2x^2 - x - 3) - (x^2 + x) = 2x^2 - x - 3 - x^2 - x = x^2 - 2x - 3$

$f(2) = 2 \cdot (2x^2 - x - 3) - (x^2 + x) = 4x^2 - 2x - 6 - x^2 - x = 3x^2 - 3x - 6$

Теперь решим систему неравенств относительно $x$:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0 \\ 3x^2 - 3x - 6 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 3 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 3]$.

Решим второе неравенство: $3x^2 - 3x - 6 \le 0$. Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется): $x^2 - x - 2 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 2]$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $[-1; 3] \cap [-1; 2] = [-1; 2]$. Это множество значений $x$, для которых $f(1) \le 0$ и $f(2) \le 0$.

Теперь, как было отмечено ранее, необходимо исключить случай, когда $f(a)$ тождественно равна нулю на интервале $(1; 2)$. Это произойдет, если $f(1)=0$ и $f(2)=0$ одновременно.

$f(1) = x^2 - 2x - 3 = 0$ при $x = -1$ или $x = 3$.

$f(2) = 3(x^2 - x - 2) = 0$ при $x = -1$ или $x = 2$.

Оба равенства выполняются одновременно только при $x = -1$. Проверим это значение. Если $x = -1$, исходное неравенство принимает вид $(2a - 1)(-1)^2 < (a + 1)(-1) + 3a$, что равносильно $2a - 1 < -a - 1 + 3a$, или $2a - 1 < 2a - 1$. Это неравенство ложно при любом значении $a$. Следовательно, значение $x=-1$ не является решением и должно быть исключено.

Таким образом, из найденного промежутка $x \in [-1; 2]$ нужно исключить точку $x=-1$. В результате получаем искомое множество значений $x: (-1; 2]$.

Ответ: $x \in (-1; 2]$.