Страница 398 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

280 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Один воин вышел из цареграда и шёл всякий день по 12 миль, а второй пошёл вслед его в тот же час и шёл таким образом. В первый день прошёл 1 милю, во второй день 2 мили, в третий день 3 мили, в четвёртый день 4 мили, в пятый 5 миль и так прибавлял каждый день 1 милю. Спрашивается, через сколько дней второй догонит первого.

Для решения задачи приравняем расстояния, пройденные обоими воинами за одинаковое количество дней. Обозначим искомое количество дней через $n$.

Расстояние $S_1$, которое пройдет первый воин, двигаясь с постоянной скоростью 12 миль в день, за $n$ дней, равно:
$S_1 = 12 \cdot n$

Второй воин в первый день проходит 1 милю, во второй — 2, в третий — 3, и так далее. Расстояние, пройденное им за $n$ дней, $S_2$, является суммой арифметической прогрессии $1 + 2 + 3 + \dots + n$. Формула для суммы первых $n$ натуральных чисел:
$S_2 = \frac{n(n+1)}{2}$

Второй воин догонит первого, когда пройденные ими расстояния станут равны, то есть $S_1 = S_2$. Составим и решим уравнение:
$12n = \frac{n(n+1)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$24n = n(n+1)$
$24n = n^2 + n$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$n^2 + n - 24n = 0$
$n^2 - 23n = 0$
Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n(n-23) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $n_1 = 0$ и $n_2 = 23$.

Корень $n=0$ соответствует начальному моменту времени, когда оба воина находились в одной точке, что соответствует условию, но не является ответом на вопрос. Корень $n=23$ показывает искомое количество дней, через которое второй воин догонит первого.
Для проверки подставим $n=23$ в формулы для расстояний:
Путь первого воина: $S_1 = 12 \cdot 23 = 276$ миль.
Путь второго воина: $S_2 = \frac{23(23+1)}{2} = \frac{23 \cdot 24}{2} = 23 \cdot 12 = 276$ миль.
Расстояния равны, следовательно, решение верное.

Ответ: через 23 дня.

ИССЛЕДУЕМ (281-282):

281 Мастер делает за 1 ч целое число деталей, большее 5, а уче-ник — на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе — на 1 ч быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?

281

Обозначим переменные:

• Пусть $x$ — количество деталей, которое мастер делает за 1 час. По условию, $x$ — целое число и $x > 5$.
• Тогда производительность ученика составляет $x - 2$ деталей в час.
• Пусть $t$ — время в часах, за которое мастер выполняет заказ. По условию, $t$ — целое число.
• Тогда время, за которое два ученика вместе выполняют тот же заказ, составляет $t - 1$ час.
• Пусть $N$ — общее количество деталей в заказе.

Составим уравнения, исходя из условий задачи.

Общее количество деталей $N$ можно выразить двумя способами:

1. Через работу мастера: производительность мастера умноженная на его время работы.
$N = x \cdot t$

2. Через совместную работу двух учеников: их общая производительность умноженная на их время работы. Производительность двух учеников равна $2 \cdot (x - 2)$ деталей в час.
$N = 2(x - 2)(t - 1)$

Поскольку речь идет об одном и том же заказе, мы можем приравнять эти два выражения для $N$:

$x \cdot t = 2(x - 2)(t - 1)$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в правой части:

$xt = 2(xt - x - 2t + 2)$

$xt = 2xt - 2x - 4t + 4$

Перенесем все члены с $t$ в левую часть, а остальные — в правую, чтобы выразить $t$ через $x$:

$2x + 4t - 4 = 2xt - xt$

$2x - 4 = xt - 4t$

$2(x - 2) = t(x - 4)$

$t = \frac{2(x - 2)}{x - 4}$

Поскольку $t$ должно быть целым числом, преобразуем полученное выражение, чтобы выделить целую часть:

$t = \frac{2x - 4}{x - 4} = \frac{2x - 8 + 4}{x - 4} = \frac{2(x - 4) + 4}{x - 4} = \frac{2(x - 4)}{x - 4} + \frac{4}{x - 4}$

$t = 2 + \frac{4}{x - 4}$

Из этого выражения следует, что для того, чтобы $t$ было целым числом, дробь $\frac{4}{x - 4}$ также должна быть целым числом. Это возможно только если знаменатель $(x - 4)$ является делителем числителя, то есть 4.

Найдем все целые делители числа 4: $1, 2, 4, -1, -2, -4$.

Рассмотрим все возможные значения для $(x - 4)$, учитывая условие $x > 5$ (а значит $x - 4 > 1$):

• Если $x - 4 = 2$, то $x = 6$. Это значение удовлетворяет условию $x > 5$.
  Найдем соответствующее значение $t$: $t = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$. Время $t=4$ является целым числом.
• Если $x - 4 = 4$, то $x = 8$. Это значение также удовлетворяет условию $x > 5$.
  Найдем соответствующее значение $t$: $t = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$. Время $t=3$ является целым числом.

Другие делители (1, а также все отрицательные) не подходят, так как они приводят к значениям $x$, не удовлетворяющим условию $x > 5$.

Теперь найдем общее количество деталей в заказе $N$ для каждого из двух найденных случаев:

Случай 1: $x = 6$ деталей/час, $t = 4$ часа.

$N = x \cdot t = 6 \cdot 4 = 24$ детали.

Проверим: производительность ученика $6 - 2 = 4$ детали/час. Два ученика делают $2 \cdot 4 = 8$ деталей/час. Время их работы $t - 1 = 4 - 1 = 3$ часа. $N = 8 \cdot 3 = 24$ детали. Все сходится.

Случай 2: $x = 8$ деталей/час, $t = 3$ часа.

$N = x \cdot t = 8 \cdot 3 = 24$ детали.

Проверим: производительность ученика $8 - 2 = 6$ деталей/час. Два ученика делают $2 \cdot 6 = 12$ деталей/час. Время их работы $t - 1 = 3 - 1 = 2$ часа. $N = 12 \cdot 2 = 24$ детали. Все сходится.

В обоих возможных случаях количество деталей в заказе одинаково.

Ответ: заказ состоит из 24 деталей.

282 Один рабочий на новом станке производит за 1 ч целое число деталей, большее 8, а на старом станке — на 3 детали меньше. На новом станке один рабочий выполняет норму за целое число часов, а два рабочих вместе выполняют норму на старых станках на 1 ч быстрее. Из какого количества деталей состоит дневная норма?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $N$ — количество деталей в дневной норме.

Пусть $x$ — количество деталей, которое рабочий производит за 1 час на новом станке. По условию, $x$ — это целое число, и $x > 8$.

Тогда на старом станке рабочий производит за 1 час $x - 3$ детали.

Время, за которое один рабочий на новом станке выполняет норму, равно $t_{нов} = \frac{N}{x}$. По условию, это время является целым числом часов.

Два рабочих на старых станках вместе производят за 1 час $2 \cdot (x - 3)$ деталей. Время, за которое они выполняют норму, равно $t_{стар} = \frac{N}{2(x - 3)}$.

По условию, два рабочих на старых станках выполняют норму на 1 час быстрее, чем один рабочий на новом. Это можно записать в виде уравнения:
$t_{нов} - t_{стар} = 1$
$\frac{N}{x} - \frac{N}{2(x - 3)} = 1$

Так как $t_{нов}$ — целое число, то $N$ должно делиться на $x$ без остатка. Обозначим $t_{нов} = k$, где $k$ — целое положительное число. Тогда $N = k \cdot x$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$\frac{k \cdot x}{x} - \frac{k \cdot x}{2(x - 3)} = 1$
$k - \frac{k \cdot x}{2(x - 3)} = 1$

Перенесем $k$ в правую часть и умножим обе части на $-1$:
$\frac{k \cdot x}{2(x - 3)} = k - 1$

Поскольку рабочие выполняют работу, время $k > 0$. А так как $k-1$ стоит в уравнении, то $k > 1$. Выразим $k$ через $x$:
$k \cdot x = (k - 1) \cdot 2(x - 3)$
$kx = 2(kx - 3k - x + 3)$
$kx = 2kx - 6k - 2x + 6$
$kx - 6k - 2x + 6 = 0$
$k(x - 6) = 2x - 6$
$k = \frac{2x - 6}{x - 6}$

Выделим целую часть в полученном выражении:
$k = \frac{2(x - 6) + 12 - 6}{x - 6} = \frac{2(x - 6) + 6}{x - 6} = 2 + \frac{6}{x - 6}$

Так как $k$ — целое число, выражение $\frac{6}{x - 6}$ также должно быть целым. Это означает, что $(x - 6)$ является делителем числа 6. Возможные делители 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

По условию $x$ — целое число и $x > 8$, следовательно, $x - 6 > 2$. Из всех делителей числа 6 этому условию удовлетворяют только 3 и 6.

Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $x - 6 = 3$, то $x = 9$.
В этом случае время $k = 2 + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4$ часа.
Дневная норма $N = k \cdot x = 4 \cdot 9 = 36$ деталей.
Проверим: производительность на старом станке $9 - 3 = 6$ дет/ч. Два рабочих на старых станках: $2 \cdot 6 = 12$ дет/ч. Время выполнения нормы: $\frac{36}{12} = 3$ часа. Это на $4 - 3 = 1$ час быстрее, что соответствует условию.

2. Если $x - 6 = 6$, то $x = 12$.
В этом случае время $k = 2 + \frac{6}{6} = 2 + 1 = 3$ часа.
Дневная норма $N = k \cdot x = 3 \cdot 12 = 36$ деталей.
Проверим: производительность на старом станке $12 - 3 = 9$ дет/ч. Два рабочих на старых станках: $2 \cdot 9 = 18$ дет/ч. Время выполнения нормы: $\frac{36}{18} = 2$ часа. Это на $3 - 2 = 1$ час быстрее, что соответствует условию.

В обоих случаях дневная норма составляет 36 деталей.

Ответ: 36 деталей.

283 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека хотят двор купить. Первый говорит второму: дашь мне $ \frac{3}{4} $ денег, что име-ешь, и я один заплачу цену за двор. Второй говорит третьему: дашь мне $ \frac{2}{5} $ из твоих денег, и я один заплачу цену за двор. Третий говорит первому: дашь мне $ \frac{1}{3} $ из твоих денег, и я один заплачу цену за двор. А двору цена 100 р. Сколько каждый имел денег?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество денег у каждого человека:

• Пусть $x$ — количество денег у первого человека (в рублях).
• Пусть $y$ — количество денег у второго человека (в рублях).
• Пусть $z$ — количество денег у третьего человека (в рублях).

Цена двора, которую они хотят заплатить, составляет 100 рублей.

Составление системы уравнений

Исходя из условий, которые выдвигает каждый из трех человек, составим систему уравнений.

1. Первый говорит второму: "дашь мне $\frac{3}{4}$ денег, что имеешь, и я один заплачу цену за двор". Математически это выражается так:

$x + \frac{3}{4}y = 100$

2. Второй говорит третьему: "дашь мне $\frac{2}{5}$ из твоих денег, и я один заплачу цену за двор". Это условие дает нам второе уравнение:

$y + \frac{2}{5}z = 100$

3. Третий говорит первому: "дашь мне $\frac{1}{3}$ из твоих денег, и я один заплачу цену за двор". Отсюда получаем третье уравнение:

$z + \frac{1}{3}x = 100$

В результате мы получаем следующую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + \frac{3}{4}y = 100 & (1) \\ y + \frac{2}{5}z = 100 & (2) \\ z + \frac{1}{3}x = 100 & (3) \end{cases} $

Решение системы уравнений

Решим полученную систему методом подстановки. Сначала выразим переменные из каждого уравнения, чтобы было удобнее подставлять.

Из уравнения (2) выразим $y$:

$y = 100 - \frac{2}{5}z$

Подставим это выражение в уравнение (1):

$x + \frac{3}{4}(100 - \frac{2}{5}z) = 100$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x + 75 - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}z = 100$

$x + 75 - \frac{6}{20}z = 100$

$x - \frac{3}{10}z = 100 - 75$

$x - \frac{3}{10}z = 25$

Из полученного уравнения выразим $x$ через $z$:

$x = 25 + \frac{3}{10}z$

Теперь подставим это выражение для $x$ в уравнение (3):

$z + \frac{1}{3}(25 + \frac{3}{10}z) = 100$

Снова раскроем скобки и решим уравнение относительно $z$:

$z + \frac{25}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10}z = 100$

$z + \frac{25}{3} + \frac{1}{10}z = 100$

Сгруппируем члены, содержащие $z$:

$(1 + \frac{1}{10})z = 100 - \frac{25}{3}$

$\frac{11}{10}z = \frac{300}{3} - \frac{25}{3}$

$\frac{11}{10}z = \frac{275}{3}$

Найдем значение $z$:

$z = \frac{275}{3} \cdot \frac{10}{11} = \frac{25 \cdot 10}{3} = \frac{250}{3} = 83\frac{1}{3}$

Итак, у третьего человека было $83\frac{1}{3}$ рубля.

Теперь, зная $z$, найдем $x$:

$x = 25 + \frac{3}{10} \cdot \frac{250}{3} = 25 + 25 = 50$

Таким образом, у первого человека было 50 рублей.

И наконец, найдем $y$, используя значение $z$:

$y = 100 - \frac{2}{5}z = 100 - \frac{2}{5} \cdot \frac{250}{3} = 100 - \frac{500}{15} = 100 - \frac{100}{3} = \frac{300 - 100}{3} = \frac{200}{3} = 66\frac{2}{3}$

Следовательно, у второго человека было $66\frac{2}{3}$ рубля.

Проверка

Для уверенности в правильности решения подставим найденные значения в исходные уравнения:

1. $x + \frac{3}{4}y = 50 + \frac{3}{4} \cdot \frac{200}{3} = 50 + 50 = 100$. Верно.

2. $y + \frac{2}{5}z = \frac{200}{3} + \frac{2}{5} \cdot \frac{250}{3} = \frac{200}{3} + \frac{100}{3} = \frac{300}{3} = 100$. Верно.

3. $z + \frac{1}{3}x = \frac{250}{3} + \frac{1}{3} \cdot 50 = \frac{250}{3} + \frac{50}{3} = \frac{300}{3} = 100$. Верно.

Все три условия задачи выполняются.

Ответ: у первого человека было 50 рублей, у второго — $66\frac{2}{3}$ рубля, у третьего — $83\frac{1}{3}$ рубля.

284 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека разговаривали между собой. Первый из них говорит второму: если бы мне взять от твоих денег $\frac{2}{4}$, а от третьего $\frac{3}{5}$, тогда было бы у меня 150 р. Второй говорит третьему: если бы я взял твоих денег $\frac{3}{5}$, а от первого $\frac{5}{7}$, то я тоже имел бы 150 р. Третий говорит первому: если бы я взял от твоих денег $\frac{5}{7}$, а от второго $\frac{2}{4}$, то тоже имел бы 150 р. Спрашивается, сколько который в то время имел денег.

Для решения задачи обозначим количество денег у первого, второго и третьего человека как $x$, $y$ и $z$ рублей соответственно. На основе высказываний каждого из них составим систему из трех линейных уравнений.

1. Первый человек говорит, что если он возьмет $\frac{2}{4}$ (или $\frac{1}{2}$) денег второго и $\frac{3}{5}$ денег третьего, у него станет 150 р. Это можно записать в виде уравнения:

$x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{5}z = 150$

2. Второй человек говорит, что если он возьмет $\frac{3}{5}$ денег третьего и $\frac{5}{7}$ денег первого, у него тоже станет 150 р. Соответствующее уравнение:

$y + \frac{3}{5}z + \frac{5}{7}x = 150$

3. Третий человек говорит, что если он возьмет $\frac{5}{7}$ денег первого и $\frac{2}{4}$ (или $\frac{1}{2}$) денег второго, у него также будет 150 р. Уравнение для этого случая:

$z + \frac{5}{7}x + \frac{1}{2}y = 150$

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases}x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{5}z = 150 & (1) \\\frac{5}{7}x + y + \frac{3}{5}z = 150 & (2) \\\frac{5}{7}x + \frac{1}{2}y + z = 150 & (3)\end{cases}$

Для решения системы найдем соотношения между переменными. Сравним правые части уравнений, которые равны 150.

Приравняем левые части уравнений (1) и (2):

$x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{5}z = \frac{5}{7}x + y + \frac{3}{5}z$

Вычтем из обеих частей $\frac{3}{5}z$:

$x + \frac{1}{2}y = \frac{5}{7}x + y$

$x - \frac{5}{7}x = y - \frac{1}{2}y$

$\frac{2}{7}x = \frac{1}{2}y$

Отсюда выразим $y$ через $x$: $y = \frac{4}{7}x$.

Теперь приравняем левые части уравнений (2) и (3):

$\frac{5}{7}x + y + \frac{3}{5}z = \frac{5}{7}x + \frac{1}{2}y + z$

Вычтем из обеих частей $\frac{5}{7}x$:

$y + \frac{3}{5}z = \frac{1}{2}y + z$

$y - \frac{1}{2}y = z - \frac{3}{5}z$

$\frac{1}{2}y = \frac{2}{5}z$

Отсюда выразим $z$ через $y$: $z = \frac{5}{4}y$.

Теперь, когда у нас есть зависимости $y$ от $x$ и $z$ от $y$, мы можем выразить $z$ через $x$, подставив выражение для $y$:

$z = \frac{5}{4}y = \frac{5}{4} \cdot (\frac{4}{7}x) = \frac{5}{7}x$

Подставим полученные выражения для $y$ и $z$ в первое уравнение системы:

$x + \frac{1}{2}(\frac{4}{7}x) + \frac{3}{5}(\frac{5}{7}x) = 150$

$x + \frac{2}{7}x + \frac{3}{7}x = 150$

$x + \frac{5}{7}x = 150$

$\frac{7}{7}x + \frac{5}{7}x = 150$

$\frac{12}{7}x = 150$

$x = 150 \cdot \frac{7}{12} = \frac{1050}{12} = 87.5$

Таким образом, у первого человека было 87,5 р.

Теперь найдем, сколько денег было у второго и третьего:

$y = \frac{4}{7}x = \frac{4}{7} \cdot 87.5 = \frac{4 \cdot 87.5}{7} = \frac{350}{7} = 50$

У второго человека было 50 р.

$z = \frac{5}{7}x = \frac{5}{7} \cdot 87.5 = \frac{5 \cdot 87.5}{7} = \frac{437.5}{7} = 62.5$

У третьего человека было 62,5 р.

Ответ: У первого человека было 87,5 рублей, у второго — 50 рублей, а у третьего — 62,5 рубля.

285 Грузовая машина выехала из А в В. Спустя 2 ч из В в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала $\frac{2}{3}$ всего пути?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ – расстояние между пунктами А и В.
$v_г$ – скорость грузовой машины.
$v_л$ – скорость легковой машины.
$t_г$ – общее время в пути грузовой машины (в часах). Это искомая величина.
$t_л$ – общее время в пути легковой машины (в часах).

Исходя из условия, составим уравнения, связывающие эти величины.
Весь путь $S$ грузовая машина проезжает за время $t_г$, следовательно: $S = v_г \cdot t_г$.
Легковая машина проезжает тот же путь $S$ за время $t_л$: $S = v_л \cdot t_л$.

Найдем связь между временем в пути грузовой и легковой машин. Легковая машина выехала на 2 часа позже грузовой, а прибыла в пункт назначения на 1 час позже, чем грузовая. Если принять время выезда грузовой машины за 0, то она прибудет в В в момент времени $t_г$. Легковая машина выедет в момент времени 2 и прибудет в А в момент времени $2 + t_л$. По условию, время прибытия легковой машины на 1 час больше времени прибытия грузовой:
$2 + t_л = t_г + 1$
Отсюда выразим $t_л$:
$t_л = t_г - 1$.

Теперь рассмотрим движение машин до момента их встречи. Пусть $t_{вст}$ – это время, прошедшее с момента выезда грузовой машины до момента встречи.
По условию, к моменту встречи грузовая машина проехала $\frac{2}{3}$ всего пути. Расстояние, которое она проехала, равно $v_г \cdot t_{вст}$. Таким образом:
$v_г \cdot t_{вст} = \frac{2}{3}S$
Поскольку $S = v_г \cdot t_г$, мы можем подставить это выражение в уравнение выше:
$v_г \cdot t_{вст} = \frac{2}{3}(v_г \cdot t_г)$
Сократив обе части на $v_г$ (скорость не равна нулю), получим:
$t_{вст} = \frac{2}{3}t_г$.

В момент встречи машины вместе проехали весь путь $S$. Так как грузовая машина проехала $\frac{2}{3}S$, то легковая машина к этому моменту проехала оставшуюся часть пути: $S - \frac{2}{3}S = \frac{1}{3}S$.
Легковая машина выехала на 2 часа позже, поэтому к моменту встречи она была в пути $(t_{вст} - 2)$ часа. Расстояние, которое она проехала, равно $v_л \cdot (t_{вст} - 2)$. Получаем уравнение:
$v_л \cdot (t_{вст} - 2) = \frac{1}{3}S$
Зная, что $S = v_л \cdot t_л = v_л \cdot (t_г - 1)$, подставим это в уравнение:
$v_л \cdot (t_{вст} - 2) = \frac{1}{3}(v_л \cdot (t_г - 1))$
Сократив обе части на $v_л$, получаем:
$t_{вст} - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $t_г$ и $t_{вст}$:
1) $t_{вст} = \frac{2}{3}t_г$
2) $t_{вст} - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$

Для решения системы подставим выражение для $t_{вст}$ из первого уравнения во второе:
$\frac{2}{3}t_г - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 3:
$3 \cdot (\frac{2}{3}t_г - 2) = 3 \cdot \frac{1}{3}(t_г - 1)$
$2t_г - 6 = t_г - 1$
Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем слагаемые с $t_г$ влево, а числа вправо:
$2t_г - t_г = 6 - 1$
$t_г = 5$

Таким образом, грузовая машина была в пути 5 часов.

Ответ: 5 часов.