Номер 280, страница 398 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Разные задачи - номер 280, страница 398.

Условие.

280 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Один воин вышел из цареграда и шёл всякий день по 12 миль, а второй пошёл вслед его в тот же час и шёл таким образом. В первый день прошёл 1 милю, во второй день 2 мили, в третий день 3 мили, в четвёртый день 4 мили, в пятый 5 миль и так прибавлял каждый день 1 милю. Спрашивается, через сколько дней второй догонит первого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи приравняем расстояния, пройденные обоими воинами за одинаковое количество дней. Обозначим искомое количество дней через $n$.

Расстояние $S_1$, которое пройдет первый воин, двигаясь с постоянной скоростью 12 миль в день, за $n$ дней, равно:
$S_1 = 12 \cdot n$

Второй воин в первый день проходит 1 милю, во второй — 2, в третий — 3, и так далее. Расстояние, пройденное им за $n$ дней, $S_2$, является суммой арифметической прогрессии $1 + 2 + 3 + \dots + n$. Формула для суммы первых $n$ натуральных чисел:
$S_2 = \frac{n(n+1)}{2}$

Второй воин догонит первого, когда пройденные ими расстояния станут равны, то есть $S_1 = S_2$. Составим и решим уравнение:
$12n = \frac{n(n+1)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$24n = n(n+1)$
$24n = n^2 + n$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$n^2 + n - 24n = 0$
$n^2 - 23n = 0$
Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n(n-23) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $n_1 = 0$ и $n_2 = 23$.

Корень $n=0$ соответствует начальному моменту времени, когда оба воина находились в одной точке, что соответствует условию, но не является ответом на вопрос. Корень $n=23$ показывает искомое количество дней, через которое второй воин догонит первого.
Для проверки подставим $n=23$ в формулы для расстояний:
Путь первого воина: $S_1 = 12 \cdot 23 = 276$ миль.
Путь второго воина: $S_2 = \frac{23(23+1)}{2} = \frac{23 \cdot 24}{2} = 23 \cdot 12 = 276$ миль.
Расстояния равны, следовательно, решение верное.

Ответ: через 23 дня.