Номер 280, страница 398 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 280, страница 398.

280 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Один воин вышел из цареграда и шёл всякий день по 12 миль, а второй пошёл вслед его в тот же час и шёл таким образом. В первый день прошёл 1 милю, во второй день 2 мили, в третий день 3 мили, в четвёртый день 4 мили, в пятый 5 миль и так прибавлял каждый день 1 милю. Спрашивается, через сколько дней второй догонит первого.

Для решения задачи приравняем расстояния, пройденные обоими воинами за одинаковое количество дней. Обозначим искомое количество дней через $n$.

Расстояние $S_1$, которое пройдет первый воин, двигаясь с постоянной скоростью 12 миль в день, за $n$ дней, равно:
$S_1 = 12 \cdot n$

Второй воин в первый день проходит 1 милю, во второй — 2, в третий — 3, и так далее. Расстояние, пройденное им за $n$ дней, $S_2$, является суммой арифметической прогрессии $1 + 2 + 3 + \dots + n$. Формула для суммы первых $n$ натуральных чисел:
$S_2 = \frac{n(n+1)}{2}$

Второй воин догонит первого, когда пройденные ими расстояния станут равны, то есть $S_1 = S_2$. Составим и решим уравнение:
$12n = \frac{n(n+1)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$24n = n(n+1)$
$24n = n^2 + n$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$n^2 + n - 24n = 0$
$n^2 - 23n = 0$
Вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n(n-23) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $n_1 = 0$ и $n_2 = 23$.

Корень $n=0$ соответствует начальному моменту времени, когда оба воина находились в одной точке, что соответствует условию, но не является ответом на вопрос. Корень $n=23$ показывает искомое количество дней, через которое второй воин догонит первого.
Для проверки подставим $n=23$ в формулы для расстояний:
Путь первого воина: $S_1 = 12 \cdot 23 = 276$ миль.
Путь второго воина: $S_2 = \frac{23(23+1)}{2} = \frac{23 \cdot 24}{2} = 23 \cdot 12 = 276$ миль.
Расстояния равны, следовательно, решение верное.

Ответ: через 23 дня.