Номер 287, страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 287, страница 399.

287 Из пункта $M$ в пункт $N$ выходит первый пешеход, а через 2 ч навстречу ему из пункта $N$ в пункт $M$ выходит второй пешеход. К моменту встречи второй пешеход прошёл $\frac{7}{9}$ от расстояния, пройденного к этому моменту первым пешеходом. Сколько часов требуется первому пешеходу на весь путь от $M$ до $N$, если второй пешеход проходит путь от $N$ до $M$ за 7 ч?

Пусть $S$ - расстояние от пункта $M$ до пункта $N$, $v_1$ и $v_2$ - скорости первого и второго пешеходов соответственно.
Пусть $t$ - время, которое был в пути второй пешеход до момента встречи. Поскольку первый пешеход вышел на 2 часа раньше, он был в пути $t+2$ часа.

Расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи: $S_1 = v_1(t+2)$.
Расстояние, которое прошел второй пешеход до встречи: $S_2 = v_2 t$.

Из условия задачи известно, что к моменту встречи второй пешеход прошёл $\frac{7}{9}$ от расстояния, пройденного первым:
$S_2 = \frac{7}{9}S_1$.
Также, в момент встречи сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию $S$:
$S_1 + S_2 = S$.
Подставим соотношение для $S_2$ в уравнение для полного расстояния:
$S_1 + \frac{7}{9}S_1 = S$
$\frac{16}{9}S_1 = S$, откуда $S_1 = \frac{9}{16}S$.
Следовательно, расстояние, пройденное вторым пешеходом, равно $S_2 = S - S_1 = S - \frac{9}{16}S = \frac{7}{16}S$.

По условию, второй пешеход проходит весь путь от $N$ до $M$ за 7 часов. Это позволяет нам найти его скорость:
$v_2 = \frac{S}{7}$.

Теперь мы можем найти время $t$, которое второй пешеход шел до встречи, используя найденное расстояние $S_2$ и скорость $v_2$:
$t = \frac{S_2}{v_2} = \frac{\frac{7}{16}S}{\frac{S}{7}} = \frac{7S}{16} \cdot \frac{7}{S} = \frac{49}{16}$ часа.

Время, которое был в пути первый пешеход до встречи, на 2 часа больше:
$t+2 = \frac{49}{16} + 2 = \frac{49+32}{16} = \frac{81}{16}$ часа.

Зная расстояние $S_1$ и время $t+2$, найдем скорость первого пешехода $v_1$:
$v_1 = \frac{S_1}{t+2} = \frac{\frac{9}{16}S}{\frac{81}{16}} = \frac{9S}{16} \cdot \frac{16}{81} = \frac{9S}{81} = \frac{S}{9}$.

Наконец, определим, сколько часов требуется первому пешеходу на весь путь от $M$ до $N$:
$T_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{\frac{S}{9}} = S \cdot \frac{9}{S} = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.