Номер 289, страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 289, страница 399.

289 Из города D в город E с интервалом в 10 мин отправились три рейсовых автобуса. Первый автобус шёл со скоростью на 5 км/ч меньше положенной, второй автобус сохранял положенную скорость, а третий автобус превышал её на 6 км/ч. В результате все три автобуса пришли в город E одновременно. Определите расстояние между городами D и E.

Для решения задачи введем следующие переменные:
$S$ — искомое расстояние между городами D и E (в км).
$v$ — положенная скорость автобуса (в км/ч).

Согласно условию задачи, скорости трех автобусов были следующими:
Скорость первого автобуса: $v_1 = v - 5$ км/ч.
Скорость второго автобуса: $v_2 = v$ км/ч.
Скорость третьего автобуса: $v_3 = v + 6$ км/ч.

Время, которое каждый автобус затратил на путь, можно выразить через расстояние $S$ и соответствующую скорость:
Время первого автобуса: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{v - 5}$ ч.
Время второго автобуса: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{v}$ ч.
Время третьего автобуса: $t_3 = \frac{S}{v_3} = \frac{S}{v + 6}$ ч.

Автобусы отправлялись с интервалом в 10 минут. Переведем этот интервал в часы: $10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6}$ часа.
Первый автобус выехал раньше всех. Второй выехал на 10 минут позже первого, а третий — на 10 минут позже второго (и на 20 минут позже первого).
Так как все три автобуса прибыли в город Е одновременно, время в пути у более медленных автобусов должно быть больше.

Сравним время прибытия второго и первого автобусов. Второй автобус выехал на $\frac{1}{6}$ часа позже, значит, его время в пути $t_2$ должно быть на $\frac{1}{6}$ часа меньше, чем время в пути первого автобуса $t_1$.
$t_1 - t_2 = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{v - 5} - \frac{S}{v} = \frac{1}{6}$

Аналогично, сравним время прибытия третьего и второго автобусов. Третий автобус выехал на $\frac{1}{6}$ часа позже второго, значит, его время в пути $t_3$ должно быть на $\frac{1}{6}$ часа меньше, чем время в пути второго автобуса $t_2$.
$t_2 - t_3 = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{v} - \frac{S}{v + 6} = \frac{1}{6}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S$ и $v$. Приравняем левые части уравнений, так как их правые части равны:
$\frac{S}{v - 5} - \frac{S}{v} = \frac{S}{v} - \frac{S}{v + 6}$

Поскольку расстояние $S$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:
$\frac{1}{v - 5} - \frac{1}{v} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{v - (v - 5)}{v(v - 5)} = \frac{(v + 6) - v}{v(v + 6)}$
$\frac{5}{v(v - 5)} = \frac{6}{v(v + 6)}$

Так как скорость $v$ не может быть равна нулю, сократим $v$ в знаменателях:
$\frac{5}{v - 5} = \frac{6}{v + 6}$

Решим это уравнение методом перекрестного умножения:
$5(v + 6) = 6(v - 5)$
$5v + 30 = 6v - 30$
$6v - 5v = 30 + 30$
$v = 60$ км/ч.

Мы нашли положенную скорость. Теперь подставим значение $v = 60$ в любое из уравнений системы, чтобы найти расстояние $S$. Возьмем второе уравнение:
$\frac{S}{v} - \frac{S}{v + 6} = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{60} - \frac{S}{60 + 6} = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{60} - \frac{S}{66} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю (660):
$\frac{11S}{660} - \frac{10S}{660} = \frac{1}{6}$
$\frac{S}{660} = \frac{1}{6}$

Отсюда находим $S$:
$S = \frac{660}{6} = 110$ км.

Ответ: Расстояние между городами D и E равно 110 км.