Номер 295, страница 400 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 295, страница 400.

295 Расстояние между двумя пунктами $A$ и $B$ равно $L$ км. Одновременно из пункта $A$ по направлению к $B$ вышли два пешехода, а из пункта $B$ им навстречу — третий. Первый и третий пешеходы встретились через 3 ч после начала движения. В тот момент, когда первый пешеход оказался в пункте $B$, второй пешеход находился в 10 км от этого пункта. Определите скорость второго пешехода, если известно, что скорости пешеходов постоянны, причём скорость второго пешехода больше скорости третьего на 2 км/ч, но меньше скорости первого.

Обозначим скорости первого, второго и третьего пешеходов как $v_1$, $v_2$ и $v_3$ соответственно (в км/ч). Расстояние между пунктами А и В равно $L$ км.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Первый и третий пешеходы движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна $v_1 + v_3$. Они встретились через 3 часа, преодолев вместе расстояние $L$.
$L = 3 \cdot (v_1 + v_3)$

2. Скорость второго пешехода больше скорости третьего на 2 км/ч.
$v_2 = v_3 + 2$, откуда $v_3 = v_2 - 2$.

Подставим второе уравнение в первое:
$L = 3 \cdot (v_1 + v_2 - 2)$

3. Время, за которое первый пешеход дошел до пункта В, составляет $t_1 = \frac{L}{v_1}$. За это же время второй пешеход прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_1 = v_2 \cdot \frac{L}{v_1}$. По условию, в этот момент второй пешеход находился в 10 км от пункта В, значит, он прошел расстояние $L - 10$ км.
$v_2 \cdot \frac{L}{v_1} = L - 10$

Также в задаче указано, что скорость второго пешехода меньше скорости первого ($v_2 < v_1$) и скорости являются положительными величинами ($v_3 = v_2 - 2 > 0 \Rightarrow v_2 > 2$ км/ч).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными ($v_1, v_2, L$):
(1) $L = 3(v_1 + v_2 - 2)$
(2) $v_2 \cdot \frac{L}{v_1} = L - 10$

Из уравнения (2) выразим $L$:
$v_2 \cdot L = v_1(L - 10)$
$v_2 L = v_1 L - 10v_1$
$10v_1 = v_1 L - v_2 L$
$10v_1 = L(v_1 - v_2)$
$L = \frac{10v_1}{v_1 - v_2}$

Приравняем два выражения для $L$:
$3(v_1 + v_2 - 2) = \frac{10v_1}{v_1 - v_2}$
$3(v_1 + v_2 - 2)(v_1 - v_2) = 10v_1$
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(v_1 - v_2)(v_1 + v_2) = v_1^2 - v_2^2$:
$3( (v_1-v_2)(v_1+v_2) - 2(v_1-v_2) ) = 10v_1$
$3(v_1^2 - v_2^2 - 2v_1 + 2v_2) = 10v_1$
$3v_1^2 - 3v_2^2 - 6v_1 + 6v_2 = 10v_1$
$3v_1^2 - 16v_1 - 3v_2^2 + 6v_2 = 0$

Перегруппируем члены уравнения:
$3v_1^2 - 16v_1 = 3v_2^2 - 6v_2$

Это уравнение связывает $v_1$ и $v_2$. Поскольку задача должна иметь единственное численное решение, а все исходные данные (время, разница скоростей, расстояние) — целые числа, можно предположить, что скорости пешеходов также являются целыми числами.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $v_1$: $3v_1^2 - 16v_1 - (3v_2^2 - 6v_2) = 0$.Для того чтобы $v_1$ было целым числом, дискриминант этого уравнения должен быть полным квадратом.
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(3v_2^2 - 6v_2)) = 256 + 12(3v_2^2 - 6v_2) = 256 + 36v_2^2 - 72v_2$
$D = 36v_2^2 - 72v_2 + 256 = 4(9v_2^2 - 18v_2 + 64)$
Чтобы $D$ был полным квадратом, выражение $9v_2^2 - 18v_2 + 64$ должно быть полным квадратом. Пусть $9v_2^2 - 18v_2 + 64 = k^2$ для некоторого целого $k$.
Выделим полный квадрат для $v_2$:
$9(v_2^2 - 2v_2) + 64 = k^2$
$9((v_2 - 1)^2 - 1) + 64 = k^2$
$9(v_2 - 1)^2 - 9 + 64 = k^2$
$9(v_2 - 1)^2 + 55 = k^2$
$k^2 - 9(v_2 - 1)^2 = 55$
$k^2 - (3(v_2 - 1))^2 = 55$
$(k - 3(v_2 - 1))(k + 3(v_2 - 1)) = 55$

Так как $v_2$ и $k$ — целые числа, то выражения в скобках также являются целыми числами — делителями числа 55. Пары делителей 55: (1, 55), (5, 11). Так как $v_2 > 2$, то $v_2-1 > 1$, и $k + 3(v_2-1) > k - 3(v_2-1)$.

Случай 1:
$\begin{cases} k - 3(v_2 - 1) = 1 \\ k + 3(v_2 - 1) = 55 \end{cases}$
Сложив два уравнения, получим: $2k = 56 \Rightarrow k=28$.Вычтя из второго первое, получим: $2 \cdot 3(v_2 - 1) = 54 \Rightarrow 6(v_2-1)=54 \Rightarrow v_2-1=9 \Rightarrow v_2=10$.Проверим условие $v_2 > 2$. $10 > 2$, условие выполняется.

Случай 2:
$\begin{cases} k - 3(v_2 - 1) = 5 \\ k + 3(v_2 - 1) = 11 \end{cases}$
Сложив уравнения: $2k = 16 \Rightarrow k=8$.Вычтя из второго первое: $2 \cdot 3(v_2 - 1) = 6 \Rightarrow 6(v_2-1)=6 \Rightarrow v_2-1=1 \Rightarrow v_2=2$.Это решение не удовлетворяет условию $v_2 > 2$ (так как при $v_2=2$ скорость третьего пешехода $v_3=0$, что противоречит смыслу задачи).

Таким образом, единственное подходящее значение для скорости второго пешехода — 10 км/ч.Давайте проверим это решение.Если $v_2 = 10$ км/ч, то $v_3 = v_2 - 2 = 8$ км/ч.Найдем $v_1$ из уравнения $3v_1^2 - 16v_1 = 3v_2^2 - 6v_2$:
$3v_1^2 - 16v_1 = 3(10^2) - 6(10) = 300 - 60 = 240$
$3v_1^2 - 16v_1 - 240 = 0$
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-240) = 256 + 2880 = 3136 = 56^2$
$v_1 = \frac{16 \pm 56}{6}$. Так как скорость положительна, $v_1 = \frac{16 + 56}{6} = \frac{72}{6} = 12$ км/ч.
Проверяем условие $v_2 < v_1$: $10 < 12$. Верно.
Теперь найдем $L$: $L = 3(v_1 + v_3) = 3(12 + 8) = 3 \cdot 20 = 60$ км.Проверим второе основное условие: $v_2 \frac{L}{v_1} = L - 10$.
$10 \cdot \frac{60}{12} = 60 - 10$
$10 \cdot 5 = 50$
$50=50$. Верно.

Все условия задачи выполнены.
Ответ: Скорость второго пешехода равна 10 км/ч.