Номер 298, страница 400 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 298, страница 400.

298 Торговец продаёт купленный товар в розницу с наценкой $p\%$. С какой наибольшей скидкой в целое число процентов ($q\%$) от розничной цены он может продать остатки этого товара, чтобы на этой продаже не иметь убытка? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для случая, когда:

а) $p = 30$;

б) $p = 25$.

Пусть $C$ — это закупочная (первоначальная) цена товара.

Торговец продает товар с наценкой $p\%$. Это означает, что розничная цена $R$ товара вычисляется как: $R = C + C \cdot \frac{p}{100} = C \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.

Далее, на остатки товара делается скидка $q\%$ от розничной цены $R$. Цена продажи со скидкой $S$ будет равна: $S = R - R \cdot \frac{q}{100} = R \left(1 - \frac{q}{100}\right)$.

Условие "не иметь убытка" означает, что итоговая цена продажи $S$ должна быть не меньше закупочной цены $C$. Математически это выражается неравенством: $S \ge C$.

Теперь подставим в это неравенство выражения для $S$ и $R$: $C \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{q}{100}\right) \ge C$.

Поскольку закупочная цена $C$ — это положительная величина ($C > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $C$, не меняя знака неравенства: $\left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{q}{100}\right) \ge 1$.

Решим это неравенство относительно $q$, чтобы найти максимально допустимую скидку. $1 - \frac{q}{100} \ge \frac{1}{1 + \frac{p}{100}}$ $1 - \frac{q}{100} \ge \frac{1}{\frac{100+p}{100}}$ $1 - \frac{q}{100} \ge \frac{100}{100+p}$

Перенесем единицу и сменим знаки: $-\frac{q}{100} \ge \frac{100}{100+p} - 1$ $-\frac{q}{100} \ge \frac{100 - (100+p)}{100+p}$ $-\frac{q}{100} \ge \frac{-p}{100+p}$

Умножим обе части на $-100$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $q \le \frac{100p}{100+p}$.

В задаче требуется найти наибольшую скидку в целое число процентов. Это означает, что нам нужно найти наибольшее целое число $q$, удовлетворяющее этому неравенству. Для этого нужно взять целую часть от правой части выражения (округлить вниз до ближайшего целого).

Решение в общем виде:

Наибольшая возможная целая скидка $q$ определяется формулой: $q = \left\lfloor \frac{100p}{100+p} \right\rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — функция взятия целой части числа.

Ответ: $q = \left\lfloor \frac{100p}{100+p} \right\rfloor$.

Теперь найдем ответы для конкретных случаев.

а) p = 30

Подставляем значение $p = 30$ в полученное неравенство для $q$: $q \le \frac{100 \cdot 30}{100 + 30} = \frac{3000}{130} = \frac{300}{13}$.

Преобразуем дробь в десятичное число: $\frac{300}{13} \approx 23.0769...$

Неравенство имеет вид $q \le 23.0769...$. Поскольку $q$ должно быть целым числом, наибольшее значение, которое оно может принять, — это 23.

Ответ: 23%.

б) p = 25

Подставляем значение $p = 25$ в неравенство: $q \le \frac{100 \cdot 25}{100 + 25} = \frac{2500}{125}$.

Вычислим значение дроби: $\frac{2500}{125} = 20$.

Неравенство имеет вид $q \le 20$. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 20.

Ответ: 20%.