Номер 303, страница 401 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 303, страница 401.

303¹ Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Примем весь объем работы за 1.
Пусть $v_1$ — производительность первого рабочего (часть работы, которую он выполняет за один день), а $v_2$ — производительность второго рабочего.
Пусть $t_1$ — это количество дней, за которое первый рабочий выполнит всю работу самостоятельно. Тогда $v_1 = \frac{1}{t_1}$. Мы ищем $t_1$.

Из условия известно, что, работая вместе, двое рабочих выполняют всю работу за 12 дней. Их общая производительность составляет $v_1 + v_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:
$v_1 + v_2 = \frac{1}{12}$

Также в условии сказано, что первый рабочий за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня. Это позволяет нам составить второе уравнение, связывающее их производительности:
$2 \cdot v_1 = 3 \cdot v_2$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = \frac{1}{12} \\ 2v_1 = 3v_2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим производительность второго рабочего $v_2$ через производительность первого $v_1$:
$v_2 = \frac{2}{3}v_1$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$v_1 + \frac{2}{3}v_1 = \frac{1}{12}$

Решим полученное уравнение относительно $v_1$:
$\frac{3v_1 + 2v_1}{3} = \frac{1}{12}$
$\frac{5}{3}v_1 = \frac{1}{12}$
$v_1 = \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

Итак, производительность первого рабочего равна $\frac{1}{20}$ часть работы в день. Следовательно, на выполнение всей работы ему потребуется время $t_1$, которое можно найти как величину, обратную производительности:
$t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/20} = 20$ дней.

Ответ: 20 дней.