Номер 308, страница 401 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 308, страница 401.

308 ЕГЭ. Решите уравнение $6 \sin^2 x + \cos x - 5 = 0$ и найдите корни, принадлежащие отрезку $[2\pi; 3\pi]$.

а) Решите уравнение $6 \sin^2 x + \cos x - 5 = 0$

Данное уравнение содержит тригонометрические функции разных аргументов. Чтобы привести его к одному аргументу, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Отсюда выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$6(1 - \cos^2 x) + \cos x - 5 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$6 - 6\cos^2 x + \cos x - 5 = 0$
$-6\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:
$6\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус – это отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1; 1]$.
Получаем уравнение:
$6t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Оба найденных значения $t$ удовлетворяют условию $t \in [-1; 1]$.
Вернемся к замене:

1) $\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = -\frac{1}{3}$
$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $[2\pi; 3\pi]$

Отберем корни, используя метод неравенств.

1. Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
$2\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$
Разделим на $\pi$: $2 \le \frac{1}{3} + 2n \le 3$
Вычтем $\frac{1}{3}$: $2 - \frac{1}{3} \le 2n \le 3 - \frac{1}{3} \implies \frac{5}{3} \le 2n \le \frac{8}{3}$
Разделим на 2: $\frac{5}{6} \le n \le \frac{8}{6} \implies \frac{5}{6} \le n \le \frac{4}{3}$.
Единственное целое значение в этом промежутке – $n=1$.
При $n=1$ корень равен: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.

2. Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
$2\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi$
Разделим на $\pi$: $2 \le -\frac{1}{3} + 2n \le 3$
Прибавим $\frac{1}{3}$: $2 + \frac{1}{3} \le 2n \le 3 + \frac{1}{3} \implies \frac{7}{3} \le 2n \le \frac{10}{3}$
Разделим на 2: $\frac{7}{6} \le n \le \frac{10}{6} \implies 1\frac{1}{6} \le n \le 1\frac{2}{3}$.
В этом промежутке нет целых значений $n$.

3. Для серии $x = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$:
Оценим значение $\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$. Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(\pi) = -1$, то $\frac{\pi}{2} < \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) < \pi$.
$2\pi \le \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k \le 3\pi$
Разделим на $\pi$: $2 \le \frac{\arccos(-\frac{1}{3})}{\pi} + 2k \le 3$.
Поскольку $0.5 < \frac{\arccos(-\frac{1}{3})}{\pi} < 1$, то при $k=1$ получаем: $2 \le \frac{\arccos(-\frac{1}{3})}{\pi} + 2 \le 3$, что равносильно $0 \le \frac{\arccos(-\frac{1}{3})}{\pi} \le 1$. Это верно.
При $k=0$ корень будет меньше $2\pi$, а при $k=2$ – больше $3\pi$.
Следовательно, подходит только $k=1$.
Корень: $x = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi$.

4. Для серии $x = -\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$:
Так как $\frac{\pi}{2} < \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) < \pi$, то $-\pi < -\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) < -\frac{\pi}{2}$.
$2\pi \le -\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k \le 3\pi$.
При $k=1$: $x = 2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$. Так как $2\pi - \pi < x < 2\pi - \frac{\pi}{2}$, получаем $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$. Этот корень не входит в отрезок $[2\pi; 3\pi]$.
При $k=2$: $x = 4\pi - \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$. Так как $4\pi - \pi < x < 4\pi - \frac{\pi}{2}$, получаем $3\pi < x < \frac{7\pi}{2}$. Этот корень не входит в отрезок $[2\pi; 3\pi]$.
В этой серии нет корней на заданном отрезке.

Ответ: $\frac{7\pi}{3}, \quad 2\pi + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.