Номер 302, страница 401 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 302, страница 401.

302 Из пункта $A$ в пункт $B$ отправились одновременно два поезда. Каждый из них вначале двигался равноускоренно (ускорения поездов различны, начальные скорости равны нулю), а затем, набрав некоторую скорость, — равномерно. Отношение скоростей равномерного движения поездов равно 2. Пройдя четверть пути от $A$ до $B$, поезда поравнялись, причём в этот момент скорость одного была в 1,5 раза больше скорости другого. Найдите отношение промежутков времени, за которые поезда прошли путь от $A$ до $B$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — полное расстояние от пункта А до пункта В.
• Для первого поезда: ускорение $a_1$, установившаяся скорость $v_{u1}$, общее время в пути $T_1$.
• Для второго поезда: ускорение $a_2$, установившаяся скорость $v_{u2}$, общее время в пути $T_2$.

Согласно условию, начальные скорости обоих поездов равны нулю. Движение каждого поезда состоит из двух этапов: равноускоренное движение и равномерное движение.

1. Анализ условия задачи

Из условия задачи нам известны следующие соотношения:

1. Отношение установившихся скоростей равномерного движения равно 2. Пусть скорость второго поезда $v_{u2} = v$, тогда скорость первого поезда $v_{u1} = 2v$.

2. Поезда поравнялись, пройдя расстояние $s_m = S/4$. Поскольку они стартовали одновременно, время, за которое они прошли это расстояние, одинаково для обоих поездов. Обозначим это время $t_m$.

3. В момент встречи $t_m$ скорость одного поезда была в 1,5 раза больше скорости другого. Обозначим их мгновенные скорости в этот момент как $v_1(t_m)$ и $v_2(t_m)$. То есть, либо $v_1(t_m) = 1.5 v_2(t_m)$, либо $v_2(t_m) = 1.5 v_1(t_m)$.

2. Определение режима движения поездов в момент встречи

Поскольку поезда прошли одинаковое расстояние $S/4$ за одинаковое время $t_m$, их средние скорости на этом отрезке пути равны: $\bar{v}_1 = \bar{v}_2 = \frac{S/4}{t_m}$.

Рассмотрим возможные режимы движения в момент $t_m$:

• Если бы оба поезда все еще разгонялись, то их средние скорости были бы $\bar{v}_1 = \frac{v_1(t_m)}{2}$ и $\bar{v}_2 = \frac{v_2(t_m)}{2}$. Из равенства средних скоростей следовало бы, что $v_1(t_m) = v_2(t_m)$, что противоречит условию об отношении скоростей 1,5.
• Если бы оба поезда уже двигались равномерно, то их скорости были бы $v_1(t_m) = v_{u1} = 2v$ и $v_2(t_m) = v_{u2} = v$. Отношение скоростей было бы равно 2, что также противоречит условию (1,5).

Следовательно, в момент встречи один поезд все еще разгонялся, а другой уже перешел к равномерному движению. Определим, какой именно.

Предположим, что первый поезд (с большей конечной скоростью $v_{u1}=2v$) уже движется равномерно, а второй (с меньшей конечной скоростью $v_{u2}=v$) еще разгоняется. Тогда в момент $t_m$:$v_1(t_m) = v_{u1} = 2v$.$v_2(t_m) < v_{u2} = v$.Из этих двух неравенств следует, что $v_1(t_m) > 2v_2(t_m)$, то есть отношение их скоростей больше 2. Это противоречит условию, что отношение равно 1,5.

Значит, верна обратная ситуация: второй поезд (с меньшей конечной скоростью) уже достиг своей установившейся скорости $v_{u2}=v$, а первый поезд (с большей конечной скоростью) все еще находится на этапе разгона.

Таким образом, в момент встречи $t_m$ имеем:

• Второй поезд движется равномерно: $v_2(t_m) = v_{u2} = v$.
• Первый поезд движется равноускоренно: $v_1(t_m) < v_{u1} = 2v$.

Теперь определим, какое из отношений скоростей ($1,5$ или $1/1,5$) верно.Средняя скорость первого поезда (разгоняющегося) $\bar{v}_1 = \frac{v_1(t_m)}{2}$.Средняя скорость второго поезда (часть пути - разгон, часть - равномерное движение) будет больше, чем его средняя скорость на участке разгона ($\frac{v_{u2}}{2} = \frac{v}{2}$). То есть $\bar{v}_2 > \frac{v}{2}$.Так как $\bar{v}_1 = \bar{v}_2$, получаем $\frac{v_1(t_m)}{2} > \frac{v}{2}$, откуда $v_1(t_m) > v$.Поскольку $v_2(t_m) = v$, то $v_1(t_m) > v_2(t_m)$.Следовательно, в момент встречи выполняется соотношение $v_1(t_m) = 1.5 v_2(t_m)$.Подставляя известные значения, получаем: $v_1(t_m) = 1.5 v$. Это не противоречит условию $v_1(t_m) < v_{u1}$, так как $1.5v < 2v$.

3. Расчет параметров движения

Найдем время встречи $t_m$. Для первого поезда, который все время разгонялся, путь равен $S/4 = \bar{v}_1 t_m = \frac{v_1(t_m)}{2}t_m$.Подставим $v_1(t_m) = 1.5v$:$\frac{S}{4} = \frac{1.5v}{2}t_m \implies t_m = \frac{S/4}{0.75v} = \frac{S}{3v}$.

Теперь найдем полные времена движения $T_1$ и $T_2$.

Расчет для первого поезда:Ускорение первого поезда: $a_1 = \frac{v_1(t_m)}{t_m} = \frac{1.5v}{S/(3v)} = \frac{4.5v^2}{S}$.Время разгона до скорости $v_{u1} = 2v$: $t_{a1} = \frac{v_{u1}}{a_1} = \frac{2v}{4.5v^2/S} = \frac{2S}{4.5v} = \frac{4S}{9v}$.Расстояние разгона: $s_{a1} = \frac{a_1 t_{a1}^2}{2} = \frac{v_{u1}^2}{2a_1} = \frac{(2v)^2}{2 \cdot (4.5v^2/S)} = \frac{4v^2 S}{9v^2} = \frac{4S}{9}$.Оставшееся расстояние $S - s_{a1} = S - \frac{4S}{9} = \frac{5S}{9}$ поезд проходит с постоянной скоростью $v_{u1} = 2v$.Время равномерного движения: $t_{u1} = \frac{5S/9}{2v} = \frac{5S}{18v}$.Полное время в пути для первого поезда: $T_1 = t_{a1} + t_{u1} = \frac{4S}{9v} + \frac{5S}{18v} = \frac{8S + 5S}{18v} = \frac{13S}{18v}$.

Расчет для второго поезда:Время разгона $t_{a2}$ второго поезда найдем из его средней скорости $\bar{v}_2 = \frac{S/4}{t_m} = \frac{3v}{4}$.Средняя скорость на смешанном участке: $\bar{v}_2 = \frac{s_{a2} + v_{u2}(t_m - t_{a2})}{t_m}$.Так как $s_{a2} = \frac{v_{u2} t_{a2}}{2} = \frac{v t_{a2}}{2}$, получаем $\bar{v}_2 = \frac{v t_{a2}/2 + v(t_m - t_{a2})}{t_m} = v(1 - \frac{t_{a2}}{2t_m})$.Приравниваем: $\frac{3v}{4} = v(1 - \frac{t_{a2}}{2t_m}) \implies \frac{3}{4} = 1 - \frac{t_{a2}}{2t_m} \implies \frac{t_{a2}}{2t_m} = \frac{1}{4} \implies t_{a2} = \frac{t_m}{2}$.$t_{a2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{3v} = \frac{S}{6v}$.Расстояние разгона: $s_{a2} = \frac{v t_{a2}}{2} = \frac{v}{2} \cdot \frac{S}{6v} = \frac{S}{12}$.Оставшееся расстояние $S - s_{a2} = S - \frac{S}{12} = \frac{11S}{12}$ поезд проходит с постоянной скоростью $v_{u2} = v$.Время равномерного движения: $t_{u2} = \frac{11S/12}{v} = \frac{11S}{12v}$.Полное время в пути для второго поезда: $T_2 = t_{a2} + t_{u2} = \frac{S}{6v} + \frac{11S}{12v} = \frac{2S + 11S}{12v} = \frac{13S}{12v}$.

4. Нахождение отношения времен

Теперь мы можем найти искомое отношение времен $T_1$ и $T_2$:$\frac{T_1}{T_2} = \frac{13S/(18v)}{13S/(12v)} = \frac{13S}{18v} \cdot \frac{12v}{13S} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Отношение времен, за которые поезда прошли путь от А до В, равно 2/3 (или 3/2, в зависимости от того, время какого поезда брать за числитель).

Ответ: Отношение времени движения первого поезда ко времени движения второго равно $2/3$. Отношение времени движения второго поезда ко времени движения первого равно $3/2$ или $1,5$.