Номер 300, страница 400 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 300, страница 400.

300 Яблоки содержали $a$% воды. На какое наименьшее число процентов ($b$%) надо уменьшить массу яблок при сушке, чтобы сушёные яблоки содержали не более $c$% воды? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для случая, когда:

a) $a = 80$, $c = 50$;

б) $a = 75$, $c = 40$.

Для решения задачи в общем виде введем следующие обозначения:
$M_1$ — начальная масса яблок.
$M_2$ — конечная масса яблок после сушки.
$a\%$ — начальное содержание воды в яблоках.
$c\%$ — конечное содержание воды в сушеных яблоках.
$b\%$ — искомое наименьшее число процентов, на которое нужно уменьшить массу яблок.

Ключевым моментом в задачах на сушку является то, что масса сухого вещества (не воды) остается неизменной.

Масса сухого вещества в начальной массе яблок $M_1$ составляет $(100 - a)\%$. Таким образом, масса сухого вещества равна:
$M_{сух} = M_1 \cdot \frac{100 - a}{100}$

После сушки масса яблок становится $M_2$, а содержание воды должно быть не более $c\%$. Чтобы найти наименьшее уменьшение массы, мы должны получить наибольшую возможную конечную массу, что соответствует максимальному содержанию воды, то есть ровно $c\%$.

Масса того же сухого вещества в конечной массе яблок $M_2$ составляет $(100 - c)\%$. Таким образом:
$M_{сух} = M_2 \cdot \frac{100 - c}{100}$

Приравнивая два выражения для массы сухого вещества, получаем:
$M_1 \cdot \frac{100 - a}{100} = M_2 \cdot \frac{100 - c}{100}$

Отсюда можно выразить отношение конечной массы к начальной:
$\frac{M_2}{M_1} = \frac{100 - a}{100 - c}$

Уменьшение массы в процентах ($b\%$) вычисляется как отношение потерянной массы ($M_1 - M_2$) к начальной массе ($M_1$):
$b = \frac{M_1 - M_2}{M_1} \cdot 100 = \left(1 - \frac{M_2}{M_1}\right) \cdot 100$

Подставим найденное отношение масс в эту формулу:
$b = \left(1 - \frac{100 - a}{100 - c}\right) \cdot 100$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$b = \left(\frac{(100 - c) - (100 - a)}{100 - c}\right) \cdot 100 = \frac{100 - c - 100 + a}{100 - c} \cdot 100$

Таким образом, общая формула для нахождения $b$ имеет вид:
$b = \frac{a - c}{100 - c} \cdot 100$

Теперь применим эту формулу для конкретных случаев.

а) Дано: $a = 80$, $c = 50$.
Подставляем значения в общую формулу:
$b = \frac{80 - 50}{100 - 50} \cdot 100 = \frac{30}{50} \cdot 100 = 0.6 \cdot 100 = 60$.
Следовательно, массу яблок надо уменьшить на 60%.

Ответ: $60\%$.

б) Дано: $a = 75$, $c = 40$.
Подставляем значения в общую формулу:
$b = \frac{75 - 40}{100 - 40} \cdot 100 = \frac{35}{60} \cdot 100 = \frac{7}{12} \cdot 100 = \frac{700}{12} = \frac{175}{3} = 58\frac{1}{3}$.
Следовательно, массу яблок надо уменьшить на $58\frac{1}{3}\%$.

Ответ: $58\frac{1}{3}\%$.