Номер 294, страница 400 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 294, страница 400.

294 Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сёл и встретились через несколько минут. После встречи первый пришёл в другое село через $a$ мин, а второй — через $b$ мин. За сколько минут каждый из пешеходов прошёл свой путь? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для случая, когда:

a) $a = 16$, $b = 25$;

б) $a = 18$, $b = 32$.

Для решения задачи в общем виде введем следующие обозначения:
Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго пешеходов соответственно.
Пусть $t$ — время в минутах от начала движения до их встречи.

До момента встречи первый пешеход прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$. Это же расстояние второй пешеход прошел после встречи за $b$ минут, то есть $S_1 = v_2 \cdot b$.

Аналогично, до момента встречи второй пешеход прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t$. Это же расстояние первый пешеход прошел после встречи за $a$ минут, то есть $S_2 = v_1 \cdot a$.

Приравняем выражения для расстояний $S_1$ и $S_2$:
$v_1 \cdot t = v_2 \cdot b$
$v_2 \cdot t = v_1 \cdot a$

Из этих двух уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:
Из первого уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{b}{t}$
Из второго уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{a}$

Теперь приравняем правые части полученных равенств:
$\frac{b}{t} = \frac{t}{a}$

Отсюда находим время до встречи $t$:
$t^2 = a \cdot b$
$t = \sqrt{ab}$ (так как время не может быть отрицательным).

Полное время, затраченное каждым пешеходом на весь путь, равно сумме времени до встречи и времени после встречи.
Полное время первого пешехода: $T_1 = t + a = \sqrt{ab} + a$.
Полное время второго пешехода: $T_2 = t + b = \sqrt{ab} + b$.

Ответ: Время в пути для первого пешехода составляет $a + \sqrt{ab}$ минут, для второго пешехода — $b + \sqrt{ab}$ минут.

а)

Найдем время для случая, когда $a = 16$, $b = 25$.
Время в пути для первого пешехода:
$T_1 = 16 + \sqrt{16 \cdot 25} = 16 + \sqrt{400} = 16 + 20 = 36$ минут.
Время в пути для второго пешехода:
$T_2 = 25 + \sqrt{16 \cdot 25} = 25 + \sqrt{400} = 25 + 20 = 45$ минут.

Ответ: Первый пешеход прошел свой путь за 36 минут, второй — за 45 минут.

б)

Найдем время для случая, когда $a = 18$, $b = 32$.
Время в пути для первого пешехода:
$T_1 = 18 + \sqrt{18 \cdot 32} = 18 + \sqrt{576} = 18 + 24 = 42$ минуты.
Время в пути для второго пешехода:
$T_2 = 32 + \sqrt{18 \cdot 32} = 32 + \sqrt{576} = 32 + 24 = 56$ минут.

Ответ: Первый пешеход прошел свой путь за 42 минуты, второй — за 56 минут.