Номер 288, страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 288, страница 399.

288 Из города A в город B выехал автомобиль. Спустя некоторое время из B в A по той же дороге выехал мотоцикл. Скорости автомобиля и мотоцикла на всём пути постоянны. Автомобиль до встречи с мотоциклом был в пути 7 ч 30 мин, а мотоцикл до встречи ехал 3 ч. Мотоцикл прибыл в A в 23 ч, а автомобиль прибыл в B в 16 ч 30 мин. Найдите время отправления мотоцикла из города B.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_a$ и $v_m$ — постоянные скорости автомобиля и мотоцикла соответственно; $t_{a1} = 7 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 7.5 \text{ ч}$ — время движения автомобиля до встречи; $t_{m1} = 3 \text{ ч}$ — время движения мотоцикла до встречи; $t_{a2}$ и $t_{m2}$ — время движения автомобиля и мотоцикла соответственно после встречи до прибытия в пункты назначения.

Пусть расстояние, которое проехал автомобиль до встречи, равно $S_1$, а мотоцикл — $S_2$. Тогда $S_1 = v_a \cdot t_{a1} = 7.5 v_a$, а $S_2 = v_m \cdot t_{m1} = 3 v_m$.

После встречи автомобиль должен был проехать оставшееся расстояние $S_2$ до города B, а мотоцикл — расстояние $S_1$ до города A. Время, которое они на это затратили, можно выразить следующими формулами:
Время автомобиля после встречи: $t_{a2} = \frac{S_2}{v_a} = \frac{3v_m}{v_a}$.
Время мотоцикла после встречи: $t_{m2} = \frac{S_1}{v_m} = \frac{7.5v_a}{v_m}$.

Из этих двух уравнений можно выразить отношение скоростей $\frac{v_a}{v_m}$:
Из первого уравнения: $\frac{v_a}{v_m} = \frac{3}{t_{a2}}$.
Из второго уравнения: $\frac{v_a}{v_m} = \frac{t_{m2}}{7.5}$.

Приравняв правые части выражений, получим соотношение между временами движения после встречи:
$\frac{3}{t_{a2}} = \frac{t_{m2}}{7.5} \implies t_{a2} \cdot t_{m2} = 3 \cdot 7.5 = 22.5$.

Теперь свяжем эти промежутки времени с моментами прибытия. Пусть $T_{встр}$ — это момент времени (на часах), когда произошла встреча. Автомобиль прибыл в B в 16:30 (16.5 ч), а мотоцикл в A — в 23:00. Значит:
$T_{встр} + t_{a2} = 16.5 \text{ ч} \implies t_{a2} = 16.5 - T_{встр}$.
$T_{встр} + t_{m2} = 23 \text{ ч} \implies t_{m2} = 23 - T_{встр}$.

Подставим эти выражения в уравнение $t_{a2} \cdot t_{m2} = 22.5$:
$(16.5 - T_{встр}) \cdot (23 - T_{встр}) = 22.5$.
Обозначим $x = T_{встр}$ и решим получившееся квадратное уравнение:
$x^2 - 23x - 16.5x + 16.5 \cdot 23 = 22.5$
$x^2 - 39.5x + 379.5 = 22.5$
$x^2 - 39.5x + 357 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-39.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 357 = 1560.25 - 1428 = 132.25$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{132.25} = 11.5$.
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{39.5 + 11.5}{2} = \frac{51}{2} = 25.5$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{39.5 - 11.5}{2} = \frac{28}{2} = 14$.

Корень $x_1 = 25.5$ (25:30) не подходит, так как встреча должна произойти до времени прибытия автомобиля в 16:30. Следовательно, время встречи $T_{встр} = 14:00$.

По условию, мотоцикл до встречи ехал 3 часа. Чтобы найти время его отправления из города B, нужно от времени встречи отнять время его движения:
$14:00 - 3 \text{ часа} = 11:00$.

Ответ: 11:00.