Номер 286, страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 286, страница 399.

286 Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 ч быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов одновременно навстречу друг другу, то встретятся через 6 ч. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?

Пусть $t_1$ — время, за которое первый пешеход проходит все расстояние, а $t_2$ — время, за которое второй пешеход проходит то же расстояние. Примем все расстояние между пунктами за 1 условную единицу.

Тогда скорость первого пешехода равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть расстояния в час), а скорость второго — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть расстояния в час).

Из условия задачи известно, что первый пешеход проходит расстояние на 5 часов быстрее, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = t_2 - 5$

или

$t_2 = t_1 + 5$

Когда пешеходы выходят одновременно навстречу друг другу, их скорости складываются. Их общая скорость сближения равна $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Они встречаются через 6 часов, а это значит, что за 6 часов они вместе проходят все расстояние (1 условную единицу). Таким образом, их совместная скорость равна $\frac{1}{6}$ расстояния в час.

Составим второе уравнение:

$v_1 + v_2 = \frac{1}{6}$

Подставим в него выражения для скоростей через время:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_2 = t_1 + 5 \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \end{cases}$

Подставим выражение для $t_2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 5} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю:

$\frac{t_1 + 5 + t_1}{t_1(t_1 + 5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2t_1 + 5}{t_1^2 + 5t_1} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получим:

$6(2t_1 + 5) = t_1^2 + 5t_1$

$12t_1 + 30 = t_1^2 + 5t_1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 + 5t_1 - 12t_1 - 30 = 0$

$t_1^2 - 7t_1 - 30 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$t_{1,1} = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_{1,2} = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $t_1 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время первого пешехода $t_1 = 10$ часов.

Теперь найдем время второго пешехода:

$t_2 = t_1 + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.

Ответ: первый пешеход может пройти расстояние за 10 часов, а второй — за 15 часов.