Номер 290, страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 290, страница 399.

290 Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной, выехав из арьергарда колонны, передал пакет в начало колонны и вернулся обратно. Колонна за это время прошла путь в 12 км. Какой путь прошёл связной?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ — длина войсковой колонны, $L = 5$ км.
• $S_к$ — путь, пройденный колонной, $S_к = 12$ км.
• $S_{св}$ — искомый путь, который прошёл связной.
• $v_к$ — скорость колонны.
• $v_{св}$ — скорость связного.
• $t_1$ — время, за которое связной доехал от конца колонны к её началу.
• $t_2$ — время, за которое связной вернулся от начала колонны к её концу.

Общее время движения связного и колонны равно $t = t_1 + t_2$. За это время колонна прошла путь $S_к = v_к \cdot t$, а связной — путь $S_{св} = v_{св} \cdot t$.

Рассмотрим два этапа движения связного относительно земли.

1. Движение от конца колонны к началу.

Связной движется в том же направлении, что и колонна, но с большей скоростью. Чтобы догнать голову колонны, ему нужно преодолеть первоначальное расстояние $L$ (длину колонны) плюс то расстояние, на которое сместится голова колонны за время $t_1$. Пусть путь, пройденный связным за это время, равен $S_1$, а путь, пройденный колонной, — $S_{к1}$.

$S_1 = L + S_{к1}$

Так как $S_1 = v_{св} \cdot t_1$ и $S_{к1} = v_к \cdot t_1$, получаем:

$v_{св} \cdot t_1 = L + v_к \cdot t_1$

Отсюда можно выразить время $t_1$:

$t_1(v_{св} - v_к) = L \implies t_1 = \frac{L}{v_{св} - v_к}$

2. Движение от начала колонны к концу.

Связной движется в направлении, противоположном движению колонны. За время $t_2$ он проезжает расстояние $S_2$, а хвост колонны проходит расстояние $S_{к2}$. Вместе они преодолевают расстояние, равное длине колонны $L$.

$S_2 + S_{к2} = L$

Так как $S_2 = v_{св} \cdot t_2$ и $S_{к2} = v_к \cdot t_2$, получаем:

$v_{св} \cdot t_2 + v_к \cdot t_2 = L$

Отсюда можно выразить время $t_2$:

$t_2(v_{св} + v_к) = L \implies t_2 = \frac{L}{v_{св} + v_к}$

Теперь свяжем пути, пройденные колонной и связным. Общий путь колонны:

$S_к = v_к \cdot t = v_к (t_1 + t_2) = v_к \left(\frac{L}{v_{св} - v_к} + \frac{L}{v_{св} + v_к}\right)$

Общий путь связного:

$S_{св} = v_{св} \cdot t = v_{св} (t_1 + t_2) = v_{св} \left(\frac{L}{v_{св} - v_к} + \frac{L}{v_{св} + v_к}\right)$

Из этих двух уравнений видно, что отношение их путей равно отношению их скоростей:

$\frac{S_{св}}{S_к} = \frac{v_{св}}{v_к}$

Преобразуем выражение для $S_к$:

$S_к = v_к \cdot L \left(\frac{(v_{св} + v_к) + (v_{св} - v_к)}{(v_{св} - v_к)(v_{св} + v_к)}\right) = v_к \cdot L \cdot \frac{2v_{св}}{v_{св}^2 - v_к^2}$

Теперь заменим $v_{св}$ на $v_к \frac{S_{св}}{S_к}$:

$S_к = v_к \cdot L \cdot \frac{2(v_к \frac{S_{св}}{S_к})}{(v_к \frac{S_{св}}{S_к})^2 - v_к^2} = v_к \cdot L \cdot \frac{2v_к \frac{S_{св}}{S_к}}{v_к^2 (\frac{S_{св}^2}{S_к^2} - 1)} = \frac{2L \frac{S_{св}}{S_к}}{\frac{S_{св}^2 - S_к^2}{S_к^2}} = \frac{2L S_{св} S_к}{S_{св}^2 - S_к^2}$

Мы получили уравнение, связывающее известные величины $L$, $S_к$ и неизвестную $S_{св}$:

$S_к = \frac{2L S_{св} S_к}{S_{св}^2 - S_к^2}$

Так как $S_к \neq 0$, можно сократить на $S_к$:

$1 = \frac{2L S_{св}}{S_{св}^2 - S_к^2}$

$S_{св}^2 - S_к^2 = 2L S_{св}$

Получаем квадратное уравнение относительно $S_{св}$:

$S_{св}^2 - 2L S_{св} - S_к^2 = 0$

Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$S_{св} = \frac{-(-2L) \pm \sqrt{(-2L)^2 - 4(1)(-S_к^2)}}{2} = \frac{2L \pm \sqrt{4L^2 + 4S_к^2}}{2} = L \pm \sqrt{L^2 + S_к^2}$

Поскольку путь не может быть отрицательным, а $\sqrt{L^2 + S_к^2} > L$, физический смысл имеет только решение со знаком "+".

$S_{св} = L + \sqrt{L^2 + S_к^2}$

Подставим числовые значения $L = 5$ км и $S_к = 12$ км:

$S_{св} = 5 + \sqrt{5^2 + 12^2} = 5 + \sqrt{25 + 144} = 5 + \sqrt{169} = 5 + 13 = 18$ км.

Ответ: Связной прошёл путь в 18 км.