Номер 297, страница 400 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 297, страница 400.

297 Теплоход длины $l$ м движется по реке с постоянной скоростью. Катер, имеющий скорость $v$ м/с, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за $t$ с. Найдите скорость теплохода.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $u$ — искомая скорость теплохода, $v$ — скорость катера, $l$ — длина теплохода, $t$ — общее время движения катера. Все скорости измеряются относительно воды. Этот выбор системы отсчета (связанной с водой) является наиболее удобным, так как он исключает из рассмотрения скорость течения реки.

Рассмотрим движение катера в системе отсчета, связанной с движущимся теплоходом. В этой системе отсчета теплоход покоится, а расстояние, которое катеру необходимо преодолеть в одну сторону, равно длине теплохода $l$.

Когда катер движется от кормы к носу, он движется в том же направлении, что и теплоход. Его скорость относительно теплохода (скорость обгона) равна разности их скоростей относительно воды: $v_{отн1} = v - u$. Время, затраченное на этот этап, составляет:$t_1 = \frac{l}{v - u}$

Когда катер движется в обратном направлении, от носа к корме, он движется навстречу направлению движения теплохода. Его скорость относительно теплохода равна сумме скоростей: $v_{отн2} = v + u$. Время, затраченное на обратный путь, равно:$t_2 = \frac{l}{v + u}$

По условию задачи, общее время движения катера $t$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:$t = t_1 + t_2 = \frac{l}{v - u} + \frac{l}{v + u}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $u$. Для этого приведем дроби в правой части к общему знаменателю:$t = l \left( \frac{1}{v - u} + \frac{1}{v + u} \right) = l \left( \frac{(v + u) + (v - u)}{(v - u)(v + u)} \right)$

Упростим полученное выражение. В числителе скобки $(v + u) + (v - u) = 2v$. Знаменатель представляет собой формулу разности квадратов $(v - u)(v + u) = v^2 - u^2$. Подставим эти выражения в уравнение для времени:$t = l \frac{2v}{v^2 - u^2}$

Из этого соотношения выразим $v^2 - u^2$:$v^2 - u^2 = \frac{2vl}{t}$

Далее выразим $u^2$:$u^2 = v^2 - \frac{2vl}{t}$

Скорость $u$ не может быть отрицательной, поэтому извлекаем арифметический квадратный корень, чтобы найти искомую скорость теплохода:$u = \sqrt{v^2 - \frac{2vl}{t}}$

Ответ: $\sqrt{v^2 - \frac{2vl}{t}}$