Номер 299, страница 400 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 299, страница 400.

299 Торговец продаёт купленный товар в розницу с наценкой $p\%$. С какой наибольшей скидкой в целое число процентов ($q\%$) от розничной цены он может продавать товар, чтобы иметь доход не менее $d\%$? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для случая, когда:

a) $p = 30, d = 10$;

б) $p = 25, d = 10$.

Для решения задачи в общем виде введем следующие обозначения:

• $C$ — закупочная цена товара (себестоимость).
• $p$ — торговая наценка в процентах.
• $R$ — розничная цена товара.
• $q$ — скидка в процентах от розничной цены.
• $S$ — итоговая цена продажи после скидки.
• $d$ — минимально допустимый доход (прибыль) в процентах от закупочной цены.

Розничная цена $R$ формируется путем добавления наценки $p\%$ к закупочной цене $C$:

$R = C + C \cdot \frac{p}{100} = C \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Итоговая цена продажи $S$ получается после предоставления скидки $q\%$ от розничной цены $R$:

$S = R - R \cdot \frac{q}{100} = R \left(1 - \frac{q}{100}\right)$

Подставим выражение для $R$ в формулу для $S$:

$S = C \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{q}{100}\right)$

Доход (прибыль) от продажи — это разница между итоговой ценой продажи и закупочной ценой, то есть $S - C$. По условию, этот доход должен быть не менее $d\%$ от закупочной цены. Составим неравенство:

$S - C \ge C \cdot \frac{d}{100}$

Разделим обе части неравенства на $C$ (так как закупочная цена — положительная величина):

$\frac{S}{C} - 1 \ge \frac{d}{100} \implies \frac{S}{C} \ge 1 + \frac{d}{100}$

Теперь подставим в это неравенство выражение для $S/C$:

$\left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{q}{100}\right) \ge 1 + \frac{d}{100}$

Наша цель — найти максимальное целое значение $q$. Выразим $q$ из неравенства:

$1 - \frac{q}{100} \ge \frac{1 + d/100}{1 + p/100}$

Преобразуем дроби:

$1 - \frac{q}{100} \ge \frac{\frac{100+d}{100}}{\frac{100+p}{100}} = \frac{100+d}{100+p}$

Теперь изолируем $q$:

$-\frac{q}{100} \ge \frac{100+d}{100+p} - 1$

$-\frac{q}{100} \ge \frac{100+d - (100+p)}{100+p}$

$-\frac{q}{100} \ge \frac{d-p}{100+p}$

Умножим обе части на -100. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$q \le -100 \cdot \frac{d-p}{100+p}$

$q \le 100 \cdot \frac{p-d}{100+p}$

Так как по условию $q$ — это наибольшее целое число процентов, то мы должны найти наибольшее целое число, не превышающее значение выражения в правой части. Это математическая операция взятия целой части (пол). Таким образом, формула для нахождения $q$ в общем виде:

$q = \lfloor 100 \cdot \frac{p-d}{100+p} \rfloor$

Теперь применим эту формулу для конкретных случаев.

a) p = 30, d = 10

Подставляем значения в выведенную формулу:

$q \le 100 \cdot \frac{30 - 10}{100 + 30} = 100 \cdot \frac{20}{130} = \frac{2000}{130} = \frac{200}{13}$

Вычисляем значение дроби:

$\frac{200}{13} \approx 15.38$

Таким образом, $q \le 15.38$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, равно 15.

Ответ: 15%.

б) p = 25, d = 10

Подставляем значения в формулу:

$q \le 100 \cdot \frac{25 - 10}{100 + 25} = 100 \cdot \frac{15}{125} = \frac{1500}{125}$

Сократим и вычислим дробь:

$\frac{1500}{125} = \frac{12 \cdot 125}{125} = 12$

Получаем, что $q \le 12$. Так как 12 — целое число, это и есть максимальная возможная скидка.

Ответ: 12%.