Номер 293, страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 293, страница 399.

293 Иван Петрович приобрёл в начале года $k$ акций банка «Надежда», часть из которых простые, а другая часть — привилегированные. За год доход составил 16 условных денежных единиц по одной простой акции и 21 условную денежную единицу по одной привилегированной акции. Сколько привилегированных акций приобрёл Иван Петрович, если за год доход по всем акциям составил 269 условных денежных единиц?

Пусть $x$ — количество простых акций, а $y$ — количество привилегированных акций, которые приобрёл Иван Петрович.

Согласно условию задачи, доход по одной простой акции составляет 16 условных денежных единиц, а по одной привилегированной — 21 условную денежную единицу.

Общий доход от простых акций составляет $16x$ условных денежных единиц.

Общий доход от привилегированных акций составляет $21y$ условных денежных единиц.

Суммарный доход по всем акциям равен 269 условных денежных единиц. Можем составить уравнение:

$16x + 21y = 269$

Поскольку $x$ и $y$ — это количество акций, они должны быть целыми положительными числами (в условии сказано, что были куплены акции обоих видов: "часть из которых простые, а другая часть — привилегированные").

Для решения этого диофантова уравнения выразим $x$ через $y$:

$16x = 269 - 21y$

$x = \frac{269 - 21y}{16}$

Так как $x$ должен быть положительным числом ($x > 0$), то и числитель дроби должен быть положительным:

$269 - 21y > 0$

$269 > 21y$

$y < \frac{269}{21}$

$y < 12.809...$

Следовательно, $y$ может быть целым числом от 1 до 12. Также, для того чтобы $x$ был целым, выражение $(269 - 21y)$ должно делиться на 16 без остатка.

Рассмотрим уравнение по модулю 16, чтобы найти подходящее значение $y$:

$16x + 21y \equiv 269 \pmod{16}$

Так как $16x \equiv 0 \pmod{16}$, $21 \equiv 5 \pmod{16}$ и $269 = 16 \cdot 16 + 13 \equiv 13 \pmod{16}$, уравнение принимает вид:

$5y \equiv 13 \pmod{16}$

Теперь необходимо найти такое целое число $y$ в диапазоне от 1 до 12, которое удовлетворяет этому сравнению. Можно проверить значения по порядку.

При $y = 9$:

$5 \cdot 9 = 45$.

$45 = 2 \cdot 16 + 13$, значит $45 \equiv 13 \pmod{16}$.

Значение $y=9$ подходит. Так как решения сравнения $5y \equiv 13 \pmod{16}$ повторяются с периодом 16, других решений в диапазоне от 1 до 12 нет.

Теперь найдем соответствующее значение $x$ при $y = 9$:

$x = \frac{269 - 21 \cdot 9}{16} = \frac{269 - 189}{16} = \frac{80}{16} = 5$

Мы получили, что Иван Петрович приобрел 5 простых акций и 9 привилегированных. Оба числа являются целыми и положительными, что соответствует условию задачи.

Проверим правильность решения:

$16 \cdot 5 + 21 \cdot 9 = 80 + 189 = 269$

Общий доход совпадает с данными в задаче.

Ответ: 9.