Номер 293, страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Разные задачи - номер 293, страница 399.

Условие.

293 Иван Петрович приобрёл в начале года $k$ акций банка «Надежда», часть из которых простые, а другая часть — привилегированные. За год доход составил 16 условных денежных единиц по одной простой акции и 21 условную денежную единицу по одной привилегированной акции. Сколько привилегированных акций приобрёл Иван Петрович, если за год доход по всем акциям составил 269 условных денежных единиц?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $x$ — количество простых акций, а $y$ — количество привилегированных акций, которые приобрёл Иван Петрович.

Согласно условию задачи, доход по одной простой акции составляет 16 условных денежных единиц, а по одной привилегированной — 21 условную денежную единицу.

Общий доход от простых акций составляет $16x$ условных денежных единиц.

Общий доход от привилегированных акций составляет $21y$ условных денежных единиц.

Суммарный доход по всем акциям равен 269 условных денежных единиц. Можем составить уравнение:

$16x + 21y = 269$

Поскольку $x$ и $y$ — это количество акций, они должны быть целыми положительными числами (в условии сказано, что были куплены акции обоих видов: "часть из которых простые, а другая часть — привилегированные").

Для решения этого диофантова уравнения выразим $x$ через $y$:

$16x = 269 - 21y$

$x = \frac{269 - 21y}{16}$

Так как $x$ должен быть положительным числом ($x > 0$), то и числитель дроби должен быть положительным:

$269 - 21y > 0$

$269 > 21y$

$y < \frac{269}{21}$

$y < 12.809...$

Следовательно, $y$ может быть целым числом от 1 до 12. Также, для того чтобы $x$ был целым, выражение $(269 - 21y)$ должно делиться на 16 без остатка.

Рассмотрим уравнение по модулю 16, чтобы найти подходящее значение $y$:

$16x + 21y \equiv 269 \pmod{16}$

Так как $16x \equiv 0 \pmod{16}$, $21 \equiv 5 \pmod{16}$ и $269 = 16 \cdot 16 + 13 \equiv 13 \pmod{16}$, уравнение принимает вид:

$5y \equiv 13 \pmod{16}$

Теперь необходимо найти такое целое число $y$ в диапазоне от 1 до 12, которое удовлетворяет этому сравнению. Можно проверить значения по порядку.

При $y = 9$:

$5 \cdot 9 = 45$.

$45 = 2 \cdot 16 + 13$, значит $45 \equiv 13 \pmod{16}$.

Значение $y=9$ подходит. Так как решения сравнения $5y \equiv 13 \pmod{16}$ повторяются с периодом 16, других решений в диапазоне от 1 до 12 нет.

Теперь найдем соответствующее значение $x$ при $y = 9$:

$x = \frac{269 - 21 \cdot 9}{16} = \frac{269 - 189}{16} = \frac{80}{16} = 5$

Мы получили, что Иван Петрович приобрел 5 простых акций и 9 привилегированных. Оба числа являются целыми и положительными, что соответствует условию задачи.

Проверим правильность решения:

$16 \cdot 5 + 21 \cdot 9 = 80 + 189 = 269$

Общий доход совпадает с данными в задаче.

Ответ: 9.