Номер 292, страница 399 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 292, страница 399.

292 Купил Роман раков, вчера — мелких, по цене 51 к. за штуку, а сегодня — по 99 к., но очень крупных. Всего на раков он истратил 25 р. 20 к., из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 16 до 20 к. Определите, сколько раков купил Роман вчера и сколько сегодня.

Для решения задачи переведем все денежные суммы в копейки. Общая уплаченная сумма составляет 25 рублей 20 копеек, что равно $25 \times 100 + 20 = 2520$ копеек.

Обозначим за $x$ количество раков, купленных вчера по цене 51 копейка за штуку, и за $y$ — количество раков, купленных сегодня по цене 99 копеек за штуку. Согласно условию, $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами.

Фактическая стоимость всех купленных раков вычисляется по формуле $51x + 99y$ копеек. Роман истратил 2520 копеек, при этом переплата из-за отсутствия сдачи составила от 16 до 20 копеек. Это означает, что фактическая стоимость покупки ($C_{факт}$) меньше уплаченной суммы на величину переплаты:

$C_{факт} = 2520 - \text{переплата}$

Поскольку $16 \le \text{переплата} \le 20$, то для фактической стоимости получаем следующее двойное неравенство:

$2520 - 20 \le 51x + 99y \le 2520 - 16$

$2500 \le 51x + 99y \le 2504$

Теперь проанализируем выражение для стоимости $51x + 99y$. Оба коэффициента, 51 и 99, делятся на 3 ($51 = 3 \times 17$, $99 = 3 \times 33$). Следовательно, вся сумма должна быть кратна 3:

$51x + 99y = 3(17x + 33y)$

Найдем, какое из целых чисел в диапазоне $[2500, 2504]$ делится на 3 без остатка. Воспользуемся признаком делимости на 3 (сумма цифр числа должна делиться на 3):

2500: $2+5+0+0=7$ (не делится на 3)
2501: $2+5+0+1=8$ (не делится на 3)
2502: $2+5+0+2=9$ (делится на 3)
2503: $2+5+0+3=10$ (не делится на 3)
2504: $2+5+0+4=11$ (не делится на 3)

Единственное подходящее значение — 2502. Значит, фактическая стоимость всех раков равна 2502 копейки. Переплата при этом составила $2520 - 2502 = 18$ копеек, что соответствует условию (от 16 до 20 копеек).

Теперь нам нужно решить в целых положительных числах уравнение:

$51x + 99y = 2502$

Разделим обе части уравнения на 3:

$17x + 33y = 834$

Выразим $x$ через $y$, чтобы найти ограничения на $y$:

$17x = 834 - 33y$

Поскольку $x$ должно быть положительным числом ($x > 0$), то и правая часть должна быть положительной: $834 - 33y > 0$. Отсюда получаем:

$33y < 834 \implies y < \frac{834}{33} \approx 25.27$

Для того чтобы $x$ был целым, выражение $834 - 33y$ должно делиться на 17. Рассмотрим уравнение в виде сравнения по модулю 17:

$17x + 33y \equiv 834 \pmod{17}$

Учитывая, что $17x \equiv 0 \pmod{17}$, $33 = 2 \times 17 - 1 \equiv -1 \pmod{17}$ и $834 = 49 \times 17 + 1 \equiv 1 \pmod{17}$, получаем:

$0 + (-1)y \equiv 1 \pmod{17}$

$-y \equiv 1 \pmod{17} \implies y \equiv -1 \pmod{17}$, что эквивалентно $y \equiv 16 \pmod{17}$.

Это означает, что число $y$ при делении на 17 дает в остатке 16. Возможные положительные значения для $y$: 16, 33, 50 и так далее. Учитывая ранее найденное ограничение $y < 25.27$, единственным подходящим значением является $y=16$.

Подставим найденное значение $y=16$ в уравнение, чтобы найти $x$:

$17x + 33(16) = 834$

$17x + 528 = 834$

$17x = 834 - 528$

$17x = 306$

$x = \frac{306}{17} = 18$

Таким образом, вчера Роман купил $x=18$ раков, а сегодня — $y=16$ раков.

Ответ: Вчера Роман купил 18 раков, а сегодня — 16 раков.