Номер 285, страница 398 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 285, страница 398.

285 Грузовая машина выехала из А в В. Спустя 2 ч из В в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала $\frac{2}{3}$ всего пути?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ – расстояние между пунктами А и В.
$v_г$ – скорость грузовой машины.
$v_л$ – скорость легковой машины.
$t_г$ – общее время в пути грузовой машины (в часах). Это искомая величина.
$t_л$ – общее время в пути легковой машины (в часах).

Исходя из условия, составим уравнения, связывающие эти величины.
Весь путь $S$ грузовая машина проезжает за время $t_г$, следовательно: $S = v_г \cdot t_г$.
Легковая машина проезжает тот же путь $S$ за время $t_л$: $S = v_л \cdot t_л$.

Найдем связь между временем в пути грузовой и легковой машин. Легковая машина выехала на 2 часа позже грузовой, а прибыла в пункт назначения на 1 час позже, чем грузовая. Если принять время выезда грузовой машины за 0, то она прибудет в В в момент времени $t_г$. Легковая машина выедет в момент времени 2 и прибудет в А в момент времени $2 + t_л$. По условию, время прибытия легковой машины на 1 час больше времени прибытия грузовой:
$2 + t_л = t_г + 1$
Отсюда выразим $t_л$:
$t_л = t_г - 1$.

Теперь рассмотрим движение машин до момента их встречи. Пусть $t_{вст}$ – это время, прошедшее с момента выезда грузовой машины до момента встречи.
По условию, к моменту встречи грузовая машина проехала $\frac{2}{3}$ всего пути. Расстояние, которое она проехала, равно $v_г \cdot t_{вст}$. Таким образом:
$v_г \cdot t_{вст} = \frac{2}{3}S$
Поскольку $S = v_г \cdot t_г$, мы можем подставить это выражение в уравнение выше:
$v_г \cdot t_{вст} = \frac{2}{3}(v_г \cdot t_г)$
Сократив обе части на $v_г$ (скорость не равна нулю), получим:
$t_{вст} = \frac{2}{3}t_г$.

В момент встречи машины вместе проехали весь путь $S$. Так как грузовая машина проехала $\frac{2}{3}S$, то легковая машина к этому моменту проехала оставшуюся часть пути: $S - \frac{2}{3}S = \frac{1}{3}S$.
Легковая машина выехала на 2 часа позже, поэтому к моменту встречи она была в пути $(t_{вст} - 2)$ часа. Расстояние, которое она проехала, равно $v_л \cdot (t_{вст} - 2)$. Получаем уравнение:
$v_л \cdot (t_{вст} - 2) = \frac{1}{3}S$
Зная, что $S = v_л \cdot t_л = v_л \cdot (t_г - 1)$, подставим это в уравнение:
$v_л \cdot (t_{вст} - 2) = \frac{1}{3}(v_л \cdot (t_г - 1))$
Сократив обе части на $v_л$, получаем:
$t_{вст} - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $t_г$ и $t_{вст}$:
1) $t_{вст} = \frac{2}{3}t_г$
2) $t_{вст} - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$

Для решения системы подставим выражение для $t_{вст}$ из первого уравнения во второе:
$\frac{2}{3}t_г - 2 = \frac{1}{3}(t_г - 1)$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 3:
$3 \cdot (\frac{2}{3}t_г - 2) = 3 \cdot \frac{1}{3}(t_г - 1)$
$2t_г - 6 = t_г - 1$
Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем слагаемые с $t_г$ влево, а числа вправо:
$2t_г - t_г = 6 - 1$
$t_г = 5$

Таким образом, грузовая машина была в пути 5 часов.

Ответ: 5 часов.