Номер 282, страница 398 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 282, страница 398.

282 Один рабочий на новом станке производит за 1 ч целое число деталей, большее 8, а на старом станке — на 3 детали меньше. На новом станке один рабочий выполняет норму за целое число часов, а два рабочих вместе выполняют норму на старых станках на 1 ч быстрее. Из какого количества деталей состоит дневная норма?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $N$ — количество деталей в дневной норме.

Пусть $x$ — количество деталей, которое рабочий производит за 1 час на новом станке. По условию, $x$ — это целое число, и $x > 8$.

Тогда на старом станке рабочий производит за 1 час $x - 3$ детали.

Время, за которое один рабочий на новом станке выполняет норму, равно $t_{нов} = \frac{N}{x}$. По условию, это время является целым числом часов.

Два рабочих на старых станках вместе производят за 1 час $2 \cdot (x - 3)$ деталей. Время, за которое они выполняют норму, равно $t_{стар} = \frac{N}{2(x - 3)}$.

По условию, два рабочих на старых станках выполняют норму на 1 час быстрее, чем один рабочий на новом. Это можно записать в виде уравнения:
$t_{нов} - t_{стар} = 1$
$\frac{N}{x} - \frac{N}{2(x - 3)} = 1$

Так как $t_{нов}$ — целое число, то $N$ должно делиться на $x$ без остатка. Обозначим $t_{нов} = k$, где $k$ — целое положительное число. Тогда $N = k \cdot x$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$\frac{k \cdot x}{x} - \frac{k \cdot x}{2(x - 3)} = 1$
$k - \frac{k \cdot x}{2(x - 3)} = 1$

Перенесем $k$ в правую часть и умножим обе части на $-1$:
$\frac{k \cdot x}{2(x - 3)} = k - 1$

Поскольку рабочие выполняют работу, время $k > 0$. А так как $k-1$ стоит в уравнении, то $k > 1$. Выразим $k$ через $x$:
$k \cdot x = (k - 1) \cdot 2(x - 3)$
$kx = 2(kx - 3k - x + 3)$
$kx = 2kx - 6k - 2x + 6$
$kx - 6k - 2x + 6 = 0$
$k(x - 6) = 2x - 6$
$k = \frac{2x - 6}{x - 6}$

Выделим целую часть в полученном выражении:
$k = \frac{2(x - 6) + 12 - 6}{x - 6} = \frac{2(x - 6) + 6}{x - 6} = 2 + \frac{6}{x - 6}$

Так как $k$ — целое число, выражение $\frac{6}{x - 6}$ также должно быть целым. Это означает, что $(x - 6)$ является делителем числа 6. Возможные делители 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

По условию $x$ — целое число и $x > 8$, следовательно, $x - 6 > 2$. Из всех делителей числа 6 этому условию удовлетворяют только 3 и 6.

Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $x - 6 = 3$, то $x = 9$.
В этом случае время $k = 2 + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4$ часа.
Дневная норма $N = k \cdot x = 4 \cdot 9 = 36$ деталей.
Проверим: производительность на старом станке $9 - 3 = 6$ дет/ч. Два рабочих на старых станках: $2 \cdot 6 = 12$ дет/ч. Время выполнения нормы: $\frac{36}{12} = 3$ часа. Это на $4 - 3 = 1$ час быстрее, что соответствует условию.

2. Если $x - 6 = 6$, то $x = 12$.
В этом случае время $k = 2 + \frac{6}{6} = 2 + 1 = 3$ часа.
Дневная норма $N = k \cdot x = 3 \cdot 12 = 36$ деталей.
Проверим: производительность на старом станке $12 - 3 = 9$ дет/ч. Два рабочих на старых станках: $2 \cdot 9 = 18$ дет/ч. Время выполнения нормы: $\frac{36}{18} = 2$ часа. Это на $3 - 2 = 1$ час быстрее, что соответствует условию.

В обоих случаях дневная норма составляет 36 деталей.

Ответ: 36 деталей.