Номер 278, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 278, страница 397.

278 Среди абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в вуз, оценку «отлично» получили: по математике — 48 абитуриентов, по физике — 37, по русскому языку — 42, по математике или физике — 75, по математике или русскому языку — 76, по физике или русскому языку — 66, по всем трём предметам — 4. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько среди них получивших только одну пятёрку?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений из теории множеств. Давайте введем обозначения для множеств абитуриентов, получивших оценку «отлично»:

М - множество абитуриентов, получивших «отлично» по математике.

Ф - множество абитуриентов, получивших «отлично» по физике.

Р - множество абитуриентов, получивших «отлично» по русскому языку.

Исходя из условия, мы имеем следующие данные о мощностях (количестве элементов) этих множеств и их объединений/пересечений:

$|М| = 48$

$|Ф| = 37$

$|Р| = 42$

$|М \cup Ф| = 75$

$|М \cup Р| = 76$

$|Ф \cup Р| = 66$

$|М \cap Ф \cap Р| = 4$

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку?

Этот вопрос требует найти общее число абитуриентов, которые получили хотя бы одну оценку «отлично». Это соответствует нахождению мощности объединения трех множеств: $|М \cup Ф \cup Р|$.

Воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств:

$|М \cup Ф \cup Р| = |М| + |Ф| + |Р| - (|М \cap Ф| + |М \cap Р| + |Ф \cap Р|) + |М \cap Ф \cap Р|$

Прежде чем применить эту формулу, нам нужно найти мощности попарных пересечений ($|М \cap Ф|$, $|М \cap Р|$, $|Ф \cap Р|$). Их можно вычислить из формулы для объединения двух множеств: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, откуда $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$.

Вычислим пересечения:

Количество получивших пятерки по математике и физике:
$|М \cap Ф| = |М| + |Ф| - |М \cup Ф| = 48 + 37 - 75 = 85 - 75 = 10$

Количество получивших пятерки по математике и русскому языку:
$|М \cap Р| = |М| + |Р| - |М \cup Р| = 48 + 42 - 76 = 90 - 76 = 14$

Количество получивших пятерки по физике и русскому языку:
$|Ф \cap Р| = |Ф| + |Р| - |Ф \cup Р| = 37 + 42 - 66 = 79 - 66 = 13$

Теперь подставим все найденные и данные значения в основную формулу:

$|М \cup Ф \cup Р| = (48 + 37 + 42) - (10 + 14 + 13) + 4$

$|М \cup Ф \cup Р| = 127 - 37 + 4 = 94$

Следовательно, 94 абитуриента получили хотя бы одну пятерку.

Ответ: 94

Сколько среди них получивших только одну пятёрку?

Чтобы найти количество абитуриентов, получивших ровно одну пятерку, обозначим через $N_1$ число абитуриентов с одной пятеркой, через $N_2$ — с двумя, и через $N_3$ — с тремя.

Из условия задачи нам известно, что $N_3 = |М \cap Ф \cap Р| = 4$.

Сумма мощностей попарных пересечений связана с $N_2$ и $N_3$ следующим образом (абитуриенты с тремя пятерками входят в каждое из трех попарных пересечений):

$|М \cap Ф| + |М \cap Р| + |Ф \cap Р| = N_2 + 3 \cdot N_3$

Подставим известные нам значения:

$10 + 14 + 13 = N_2 + 3 \cdot 4$

$37 = N_2 + 12$

$N_2 = 37 - 12 = 25$

Таким образом, 25 абитуриентов получили ровно две пятерки.

Сумма мощностей всех трех множеств связана с $N_1$, $N_2$ и $N_3$ так (абитуриенты с двумя пятерками учтены в двух множествах, с тремя — в трех):

$|М| + |Ф| + |Р| = N_1 + 2 \cdot N_2 + 3 \cdot N_3$

Подставим известные значения:

$48 + 37 + 42 = N_1 + 2 \cdot 25 + 3 \cdot 4$

$127 = N_1 + 50 + 12$

$127 = N_1 + 62$

$N_1 = 127 - 62 = 65$

Следовательно, 65 абитуриентов получили только одну пятерку.

Ответ: 65