Номер 281, страница 398 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 281, страница 398.

ИССЛЕДУЕМ (281-282):

281 Мастер делает за 1 ч целое число деталей, большее 5, а уче-ник — на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе — на 1 ч быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?

281

Обозначим переменные:

• Пусть $x$ — количество деталей, которое мастер делает за 1 час. По условию, $x$ — целое число и $x > 5$.
• Тогда производительность ученика составляет $x - 2$ деталей в час.
• Пусть $t$ — время в часах, за которое мастер выполняет заказ. По условию, $t$ — целое число.
• Тогда время, за которое два ученика вместе выполняют тот же заказ, составляет $t - 1$ час.
• Пусть $N$ — общее количество деталей в заказе.

Составим уравнения, исходя из условий задачи.

Общее количество деталей $N$ можно выразить двумя способами:

1. Через работу мастера: производительность мастера умноженная на его время работы.
$N = x \cdot t$

2. Через совместную работу двух учеников: их общая производительность умноженная на их время работы. Производительность двух учеников равна $2 \cdot (x - 2)$ деталей в час.
$N = 2(x - 2)(t - 1)$

Поскольку речь идет об одном и том же заказе, мы можем приравнять эти два выражения для $N$:

$x \cdot t = 2(x - 2)(t - 1)$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в правой части:

$xt = 2(xt - x - 2t + 2)$

$xt = 2xt - 2x - 4t + 4$

Перенесем все члены с $t$ в левую часть, а остальные — в правую, чтобы выразить $t$ через $x$:

$2x + 4t - 4 = 2xt - xt$

$2x - 4 = xt - 4t$

$2(x - 2) = t(x - 4)$

$t = \frac{2(x - 2)}{x - 4}$

Поскольку $t$ должно быть целым числом, преобразуем полученное выражение, чтобы выделить целую часть:

$t = \frac{2x - 4}{x - 4} = \frac{2x - 8 + 4}{x - 4} = \frac{2(x - 4) + 4}{x - 4} = \frac{2(x - 4)}{x - 4} + \frac{4}{x - 4}$

$t = 2 + \frac{4}{x - 4}$

Из этого выражения следует, что для того, чтобы $t$ было целым числом, дробь $\frac{4}{x - 4}$ также должна быть целым числом. Это возможно только если знаменатель $(x - 4)$ является делителем числителя, то есть 4.

Найдем все целые делители числа 4: $1, 2, 4, -1, -2, -4$.

Рассмотрим все возможные значения для $(x - 4)$, учитывая условие $x > 5$ (а значит $x - 4 > 1$):

• Если $x - 4 = 2$, то $x = 6$. Это значение удовлетворяет условию $x > 5$.
  Найдем соответствующее значение $t$: $t = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$. Время $t=4$ является целым числом.
• Если $x - 4 = 4$, то $x = 8$. Это значение также удовлетворяет условию $x > 5$.
  Найдем соответствующее значение $t$: $t = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$. Время $t=3$ является целым числом.

Другие делители (1, а также все отрицательные) не подходят, так как они приводят к значениям $x$, не удовлетворяющим условию $x > 5$.

Теперь найдем общее количество деталей в заказе $N$ для каждого из двух найденных случаев:

Случай 1: $x = 6$ деталей/час, $t = 4$ часа.

$N = x \cdot t = 6 \cdot 4 = 24$ детали.

Проверим: производительность ученика $6 - 2 = 4$ детали/час. Два ученика делают $2 \cdot 4 = 8$ деталей/час. Время их работы $t - 1 = 4 - 1 = 3$ часа. $N = 8 \cdot 3 = 24$ детали. Все сходится.

Случай 2: $x = 8$ деталей/час, $t = 3$ часа.

$N = x \cdot t = 8 \cdot 3 = 24$ детали.

Проверим: производительность ученика $8 - 2 = 6$ деталей/час. Два ученика делают $2 \cdot 6 = 12$ деталей/час. Время их работы $t - 1 = 3 - 1 = 2$ часа. $N = 12 \cdot 2 = 24$ детали. Все сходится.

В обоих возможных случаях количество деталей в заказе одинаково.

Ответ: заказ состоит из 24 деталей.