Номер 284, страница 398 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 284, страница 398.

284 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека разговаривали между собой. Первый из них говорит второму: если бы мне взять от твоих денег $\frac{2}{4}$, а от третьего $\frac{3}{5}$, тогда было бы у меня 150 р. Второй говорит третьему: если бы я взял твоих денег $\frac{3}{5}$, а от первого $\frac{5}{7}$, то я тоже имел бы 150 р. Третий говорит первому: если бы я взял от твоих денег $\frac{5}{7}$, а от второго $\frac{2}{4}$, то тоже имел бы 150 р. Спрашивается, сколько который в то время имел денег.

Для решения задачи обозначим количество денег у первого, второго и третьего человека как $x$, $y$ и $z$ рублей соответственно. На основе высказываний каждого из них составим систему из трех линейных уравнений.

1. Первый человек говорит, что если он возьмет $\frac{2}{4}$ (или $\frac{1}{2}$) денег второго и $\frac{3}{5}$ денег третьего, у него станет 150 р. Это можно записать в виде уравнения:

$x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{5}z = 150$

2. Второй человек говорит, что если он возьмет $\frac{3}{5}$ денег третьего и $\frac{5}{7}$ денег первого, у него тоже станет 150 р. Соответствующее уравнение:

$y + \frac{3}{5}z + \frac{5}{7}x = 150$

3. Третий человек говорит, что если он возьмет $\frac{5}{7}$ денег первого и $\frac{2}{4}$ (или $\frac{1}{2}$) денег второго, у него также будет 150 р. Уравнение для этого случая:

$z + \frac{5}{7}x + \frac{1}{2}y = 150$

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases}x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{5}z = 150 & (1) \\\frac{5}{7}x + y + \frac{3}{5}z = 150 & (2) \\\frac{5}{7}x + \frac{1}{2}y + z = 150 & (3)\end{cases}$

Для решения системы найдем соотношения между переменными. Сравним правые части уравнений, которые равны 150.

Приравняем левые части уравнений (1) и (2):

$x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{5}z = \frac{5}{7}x + y + \frac{3}{5}z$

Вычтем из обеих частей $\frac{3}{5}z$:

$x + \frac{1}{2}y = \frac{5}{7}x + y$

$x - \frac{5}{7}x = y - \frac{1}{2}y$

$\frac{2}{7}x = \frac{1}{2}y$

Отсюда выразим $y$ через $x$: $y = \frac{4}{7}x$.

Теперь приравняем левые части уравнений (2) и (3):

$\frac{5}{7}x + y + \frac{3}{5}z = \frac{5}{7}x + \frac{1}{2}y + z$

Вычтем из обеих частей $\frac{5}{7}x$:

$y + \frac{3}{5}z = \frac{1}{2}y + z$

$y - \frac{1}{2}y = z - \frac{3}{5}z$

$\frac{1}{2}y = \frac{2}{5}z$

Отсюда выразим $z$ через $y$: $z = \frac{5}{4}y$.

Теперь, когда у нас есть зависимости $y$ от $x$ и $z$ от $y$, мы можем выразить $z$ через $x$, подставив выражение для $y$:

$z = \frac{5}{4}y = \frac{5}{4} \cdot (\frac{4}{7}x) = \frac{5}{7}x$

Подставим полученные выражения для $y$ и $z$ в первое уравнение системы:

$x + \frac{1}{2}(\frac{4}{7}x) + \frac{3}{5}(\frac{5}{7}x) = 150$

$x + \frac{2}{7}x + \frac{3}{7}x = 150$

$x + \frac{5}{7}x = 150$

$\frac{7}{7}x + \frac{5}{7}x = 150$

$\frac{12}{7}x = 150$

$x = 150 \cdot \frac{7}{12} = \frac{1050}{12} = 87.5$

Таким образом, у первого человека было 87,5 р.

Теперь найдем, сколько денег было у второго и третьего:

$y = \frac{4}{7}x = \frac{4}{7} \cdot 87.5 = \frac{4 \cdot 87.5}{7} = \frac{350}{7} = 50$

У второго человека было 50 р.

$z = \frac{5}{7}x = \frac{5}{7} \cdot 87.5 = \frac{5 \cdot 87.5}{7} = \frac{437.5}{7} = 62.5$

У третьего человека было 62,5 р.

Ответ: У первого человека было 87,5 рублей, у второго — 50 рублей, а у третьего — 62,5 рубля.