Номер 283, страница 398 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 283, страница 398.

283 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Три человека хотят двор купить. Первый говорит второму: дашь мне $ \frac{3}{4} $ денег, что име-ешь, и я один заплачу цену за двор. Второй говорит третьему: дашь мне $ \frac{2}{5} $ из твоих денег, и я один заплачу цену за двор. Третий говорит первому: дашь мне $ \frac{1}{3} $ из твоих денег, и я один заплачу цену за двор. А двору цена 100 р. Сколько каждый имел денег?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество денег у каждого человека:

• Пусть $x$ — количество денег у первого человека (в рублях).
• Пусть $y$ — количество денег у второго человека (в рублях).
• Пусть $z$ — количество денег у третьего человека (в рублях).

Цена двора, которую они хотят заплатить, составляет 100 рублей.

Составление системы уравнений

Исходя из условий, которые выдвигает каждый из трех человек, составим систему уравнений.

1. Первый говорит второму: "дашь мне $\frac{3}{4}$ денег, что имеешь, и я один заплачу цену за двор". Математически это выражается так:

$x + \frac{3}{4}y = 100$

2. Второй говорит третьему: "дашь мне $\frac{2}{5}$ из твоих денег, и я один заплачу цену за двор". Это условие дает нам второе уравнение:

$y + \frac{2}{5}z = 100$

3. Третий говорит первому: "дашь мне $\frac{1}{3}$ из твоих денег, и я один заплачу цену за двор". Отсюда получаем третье уравнение:

$z + \frac{1}{3}x = 100$

В результате мы получаем следующую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + \frac{3}{4}y = 100 & (1) \\ y + \frac{2}{5}z = 100 & (2) \\ z + \frac{1}{3}x = 100 & (3) \end{cases} $

Решение системы уравнений

Решим полученную систему методом подстановки. Сначала выразим переменные из каждого уравнения, чтобы было удобнее подставлять.

Из уравнения (2) выразим $y$:

$y = 100 - \frac{2}{5}z$

Подставим это выражение в уравнение (1):

$x + \frac{3}{4}(100 - \frac{2}{5}z) = 100$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x + 75 - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}z = 100$

$x + 75 - \frac{6}{20}z = 100$

$x - \frac{3}{10}z = 100 - 75$

$x - \frac{3}{10}z = 25$

Из полученного уравнения выразим $x$ через $z$:

$x = 25 + \frac{3}{10}z$

Теперь подставим это выражение для $x$ в уравнение (3):

$z + \frac{1}{3}(25 + \frac{3}{10}z) = 100$

Снова раскроем скобки и решим уравнение относительно $z$:

$z + \frac{25}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10}z = 100$

$z + \frac{25}{3} + \frac{1}{10}z = 100$

Сгруппируем члены, содержащие $z$:

$(1 + \frac{1}{10})z = 100 - \frac{25}{3}$

$\frac{11}{10}z = \frac{300}{3} - \frac{25}{3}$

$\frac{11}{10}z = \frac{275}{3}$

Найдем значение $z$:

$z = \frac{275}{3} \cdot \frac{10}{11} = \frac{25 \cdot 10}{3} = \frac{250}{3} = 83\frac{1}{3}$

Итак, у третьего человека было $83\frac{1}{3}$ рубля.

Теперь, зная $z$, найдем $x$:

$x = 25 + \frac{3}{10} \cdot \frac{250}{3} = 25 + 25 = 50$

Таким образом, у первого человека было 50 рублей.

И наконец, найдем $y$, используя значение $z$:

$y = 100 - \frac{2}{5}z = 100 - \frac{2}{5} \cdot \frac{250}{3} = 100 - \frac{500}{15} = 100 - \frac{100}{3} = \frac{300 - 100}{3} = \frac{200}{3} = 66\frac{2}{3}$

Следовательно, у второго человека было $66\frac{2}{3}$ рубля.

Проверка

Для уверенности в правильности решения подставим найденные значения в исходные уравнения:

1. $x + \frac{3}{4}y = 50 + \frac{3}{4} \cdot \frac{200}{3} = 50 + 50 = 100$. Верно.

2. $y + \frac{2}{5}z = \frac{200}{3} + \frac{2}{5} \cdot \frac{250}{3} = \frac{200}{3} + \frac{100}{3} = \frac{300}{3} = 100$. Верно.

3. $z + \frac{1}{3}x = \frac{250}{3} + \frac{1}{3} \cdot 50 = \frac{250}{3} + \frac{50}{3} = \frac{300}{3} = 100$. Верно.

Все три условия задачи выполняются.

Ответ: у первого человека было 50 рублей, у второго — $66\frac{2}{3}$ рубля, у третьего — $83\frac{1}{3}$ рубля.