Номер 296, страница 400 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 296, страница 400.

296 Из сборника задач П. А. Ларичева. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за $t$ часов, причём один первый, работая отдельно, может выполнить её на 4 ч скорее второго. За сколько времени может выполнить эту работу каждый из них, работая отдельно?

Обозначим за $t_1$ и $t_2$ время в часах, за которое первый и второй рабочий соответственно выполняют всю работу, работая по отдельности. Тогда их производительность (часть работы, выполняемая за час) составляет $p_1 = 1/t_1$ и $p_2 = 1/t_2$.

Согласно условию, работая вместе, они выполняют всю работу (примем ее за 1) за $t$ часов. Совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей, то есть $p_1 + p_2$. Таким образом, мы можем составить уравнение: $(p_1 + p_2) \cdot t = 1$, что эквивалентно $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}$.

Также по условию задачи известно, что первый рабочий выполняет работу на 4 часа быстрее второго. Это можно записать в виде соотношения: $t_1 = t_2 - 4$.

Для решения системы уравнений введем переменную. Пусть $x$ — это время, за которое второй рабочий выполняет работу, то есть $t_2 = x$. Тогда время первого рабочего будет $t_1 = x - 4$. Заметим, что для физического смысла задачи необходимо, чтобы время было положительным, то есть $x > 0$ и $x-4 > 0$, откуда $x > 4$.

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в первое уравнение: $\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x} = \frac{1}{t}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$: $\frac{x + (x-4)}{x(x-4)} = \frac{1}{t}$

$\frac{2x-4}{x^2-4x} = \frac{1}{t}$

Преобразуем это уравнение, используя свойство пропорции: $t(2x-4) = x^2-4x$

$2tx - 4t = x^2 - 4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$: $x^2 - 4x - 2tx + 4t = 0$

$x^2 - (4+2t)x + 4t = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$, используя формулу корней. Сначала найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-(4+2t))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4t) = (4+2t)^2 - 16t$

$D = 16 + 16t + 4t^2 - 16t = 16 + 4t^2 = 4(4+t^2)$

Теперь найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4+2t \pm \sqrt{4(4+t^2)}}{2} = \frac{4+2t \pm 2\sqrt{4+t^2}}{2} = 2+t \pm \sqrt{4+t^2}$

Получаем два возможных решения для времени $x$ (время второго рабочего): $x_1 = 2+t + \sqrt{4+t^2}$ $x_2 = 2+t - \sqrt{4+t^2}$

Теперь нужно проверить, какой из корней имеет физический смысл. Найдем соответствующее время для первого рабочего $t_1 = x-4$:

1. Для корня $x_1$: $t_1 = (2+t + \sqrt{4+t^2}) - 4 = t - 2 + \sqrt{4+t^2}$.

2. Для корня $x_2$: $t_1 = (2+t - \sqrt{4+t^2}) - 4 = t - 2 - \sqrt{4+t^2}$.

Рассмотрим второй случай. Так как по условию $t>0$, то $\sqrt{4+t^2} > \sqrt{t^2} = t$. Следовательно, разность $t - \sqrt{4+t^2}$ отрицательна. Тогда и все выражение $t - 2 - \sqrt{4+t^2}$ тем более отрицательно. Время не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2$ является посторонним и не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, остается единственное решение: Время второго рабочего: $t_2 = x = 2+t + \sqrt{4+t^2}$ часов. Время первого рабочего: $t_1 = x - 4 = t - 2 + \sqrt{4+t^2}$ часов.

Проверим выполнение условия $x > 4$. Неравенство $2+t + \sqrt{4+t^2} > 4$ сводится к $t + \sqrt{4+t^2} > 2$. Это неравенство верно для любого положительного $t$, так как $\sqrt{4+t^2} > \sqrt{t^2} = t$, и значит $t+\sqrt{4+t^2} > 2t$. Если $t \ge 1$, то $2t \ge 2$. Если $0 < t < 1$, то $\sqrt{4+t^2} > \sqrt{4} = 2$, и $t+\sqrt{4+t^2} > 2$. Решение корректно.

Ответ: первый рабочий может выполнить работу за $t - 2 + \sqrt{t^2+4}$ часов, а второй рабочий — за $t + 2 + \sqrt{t^2+4}$ часов.