Номер 301, страница 401 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 301, страница 401.

301 Когда товарный поезд проходил мимо станции А, пассажирский поезд только начал равноускоренное движение (начальная скорость равна нулю). Поезда поравнялись в тот момент, когда они прошли треть пути от станции А до следующей станции В. В этот момент пассажирский поезд, набравший некоторую скорость, начал движение с постоянной скоростью. Во сколько раз больше времени затратил на путь от А до В товарный поезд, чем пассажирский, если скорость товарного поезда на всём пути была постоянной?

Для решения задачи разобьем весь путь от станции А до станции В на два участка и проанализируем движение каждого поезда на каждом из них. Введем следующие обозначения:

• $S$ — общее расстояние от станции А до станции В.
• $v_т$ — постоянная скорость товарного поезда.
• $a_п$ — ускорение пассажирского поезда на первом участке.
• $t_т$ — общее время движения товарного поезда.
• $t_п$ — общее время движения пассажирского поезда.

Задача заключается в поиске отношения $\frac{t_т}{t_п}$.

1. Движение на первом участке.

Первый участок пути — от станции А до момента, когда поезда поравнялись. Согласно условию, на этот момент они прошли треть пути, то есть расстояние $S_1 = \frac{S}{3}$. Пусть время, за которое они прошли этот участок, равно $t_1$.

Движение товарного поезда равномерное. Пройденный им путь:$S_1 = v_т \cdot t_1$$\frac{S}{3} = v_т \cdot t_1$

Движение пассажирского поезда равноускоренное, с начальной скоростью $v_0 = 0$. Пройденный им путь:$S_1 = \frac{a_п t_1^2}{2}$$\frac{S}{3} = \frac{a_п t_1^2}{2}$

Поскольку оба поезда прошли одинаковое расстояние $S_1$ за одно и то же время $t_1$, их средние скорости на этом участке равны.Средняя скорость товарного поезда: $\bar{v}_т = v_т$.Средняя скорость пассажирского поезда (при равноускоренном движении из состояния покоя): $\bar{v}_п = \frac{v_{п1} + v_0}{2} = \frac{v_{п1}}{2}$, где $v_{п1}$ — его скорость в конце первого участка.Приравнивая пути, выраженные через средние скорости:$\bar{v}_т \cdot t_1 = \bar{v}_п \cdot t_1$$v_т = \frac{v_{п1}}{2}$Отсюда находим скорость пассажирского поезда в момент, когда они поравнялись:$v_{п1} = 2v_т$.

2. Движение на втором участке.

Второй участок пути имеет длину $S_2 = S - S_1 = S - \frac{S}{3} = \frac{2S}{3}$.На этом участке товарный поезд продолжает движение с постоянной скоростью $v_т$.Пассажирский поезд, по условию, движется с постоянной скоростью, которую он набрал к концу первого участка, то есть с $v_{п1} = 2v_т$.

3. Расчет общего времени движения.

Найдем общее время движения для каждого поезда.

Время движения товарного поезда $t_т$:Он проходит весь путь $S$ с постоянной скоростью $v_т$.$t_т = \frac{S}{v_т}$

Время движения пассажирского поезда $t_п$ складывается из времени на первом участке ($t_1$) и на втором ($\Delta t_{п2}$).

Время на первом участке $t_1$ найдем из уравнения движения товарного поезда:$t_1 = \frac{S_1}{v_т} = \frac{S/3}{v_т} = \frac{S}{3v_т}$

Время на втором участке $\Delta t_{п2}$ для пассажирского поезда:$\Delta t_{п2} = \frac{S_2}{v_{п1}} = \frac{2S/3}{2v_т} = \frac{S}{3v_т}$

Общее время для пассажирского поезда:$t_п = t_1 + \Delta t_{п2} = \frac{S}{3v_т} + \frac{S}{3v_т} = \frac{2S}{3v_т}$

4. Нахождение отношения времен.

Теперь мы можем найти, во сколько раз больше времени затратил товарный поезд, чем пассажирский.$\frac{t_т}{t_п} = \frac{\frac{S}{v_т}}{\frac{2S}{3v_т}} = \frac{S}{v_т} \cdot \frac{3v_т}{2S} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: Товарный поезд затратил на путь от А до В в 1,5 раза больше времени, чем пассажирский.