Номер 304, страница 401 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 304, страница 401.

304 Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $h(t)=-5t^2 + 18t$ ($h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

В условии задачи дана формула, описывающая высоту камня в зависимости от времени: $h(t) = -5t^2 + 18t$, где $h$ — высота в метрах, а $t$ — время в секундах.

Нам нужно найти, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров. Математически это условие можно записать в виде неравенства:

$h(t) \ge 9$

Подставим в неравенство формулу для $h(t)$:

$-5t^2 + 18t \ge 9$

Для решения этого квадратного неравенства перенесем все его члены в одну сторону:

$-5t^2 + 18t - 9 \ge 0$

Чтобы сделать старший коэффициент положительным, умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$5t^2 - 18t + 9 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5t^2 - 18t + 9 = 0$. Это моменты времени, когда камень находился ровно на высоте 9 метров. Решим уравнение с помощью дискриминанта:

$a=5, b=-18, c=9$

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 324 - 180 = 144$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{18 - 12}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{18 + 12}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Мы получили два момента времени: $t_1 = 0,6$ с (когда камень достиг высоты 9 метров, двигаясь вверх) и $t_2 = 3$ с (когда камень снова оказался на высоте 9 метров, двигаясь вниз).

Вернемся к неравенству $5t^2 - 18t + 9 \le 0$. Графиком функции $y(t) = 5t^2 - 18t + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=5 > 0$). Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между ее корнями.

Следовательно, неравенство выполняется для $t \in [0,6; 3]$.

Чтобы найти, как долго камень находился на высоте не менее 9 метров, нужно вычислить продолжительность этого временного интервала:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 3 - 0,6 = 2,4$ секунды.

Ответ: 2,4.